The nearby Lagrangian conjecture for pinwheels

Résumé technique : La conjecture de Lagrangiennes voisines pour les girouettes

Énoncé du problème
L'article traite de la conjecture de Lagrangiennes voisines (NLC), attribuée à V. I. Arnol'd, qui postule que toute Lagrangienne exacte dans le fibré cotangent $T^*Q$ d'une variété close lisse $Q$ est isotopique hamiltonienne à la section nulle. Bien que la conjecture ait été établie pour plusieurs cas de basse dimension (par exemple, $T^*S^2$, $T^*T^2$) en utilisant des techniques de courbes pseudoholomorphes, elle reste ouverte pour les variétés générales et, de manière cruciale, pour les Lagrangiennes singulières.

Les auteurs se concentrent sur une classe spécifique de Lagrangiennes singulières appelées girouettes lagrangiennes $(p, q)$. Une girouette $(p, q)$ est une $p$-girouette topologique (une 2-cellule attachée à une 1-cellule via un revêtement $p$-à-1) où la 2-cellule est lagrangienne et rencontre le cercle central d'une manière géométrique spécifique déterminée par $q$. Ces objets apparaissent naturellement comme les squelettes lagrangiens ($L^{\text{st}}_{p,q}$) des boules d'homologie rationnelle $B_{p,q}$, qui sont les fibres de Milnor des singularités de quotient cyclique $\frac{1}{p^2}(1, pq-1)$.

Le problème central est de déterminer si toute girouette lagrangienne $(p, q)$ plongée dans $B_{p,q}$ est isotopique hamiltonienne au squelette standard $L^{\text{st}}_{p,q}$. Il s'agit de la sous-conjecture « NLC1 » adaptée au cadre singulier de $B_{p,q}$.

Méthodologie
La preuve est structurée en deux parties techniques largement indépendantes, combinant la topologie symplectique, la géométrie algébrique et la théorie des courbes pseudoholomorphes.

1. Unicité symplectique (Partie 1) :

   • Compactification : Les auteurs construisent une compactification $X_{p,q}$ de la variété non compacte $B_{p,q}$. Cela est réalisé en coiffant le diagramme de base presque torique de $B_{p,q}$ et en résolvant la singularité d'orbifold résultante. L'espace résultant $X_{p,q}$ est dérivé birationnellement d'une surface de Hirzebruch.
   • Règlements et étirement de cou : Ils utilisent le concept de « règlements » (feuillements par des courbes rationnelles) sur $X_{p,q}$. En effectuant un soufflage rationnel symplectique le long d'une girouette plongée, ils analysent le comportement des courbes pseudoholomorphes sous l'étirement de cou.
   • Persistance des feuillements : Un résultat technique clé consiste à montrer que le règlement (un feuillement par des sphères de carré nul) sur $X_{p,q}$ « persiste » après le soufflage rationnel. Plus précisément, la variété soufflée $\tilde{X}$ admet un feuilletage brisé unique composé de la chaîne de Wahl (sphères exceptionnelles issues du soufflage) et du diviseur de compactification, connectés par une seule sphère exceptionnelle.
   • Construction d'un symplectomorphisme : En utilisant l'unicité de ces règlements et le fait que les compléments des voisinages de girouettes sont minimaux, ils construisent un symplectomorphisme à support compact $\psi$ envoyant toute girouette lagrangienne $L$ sur le squelette standard $L^{\text{st}}_{p,q}$.

2. Isotopie hamiltonienne (Partie 2) :

   • Groupes de symplectomorphismes : Pour rehausser le symplectomorphisme $\psi$ en une isotopie hamiltonienne, les auteurs calculent le type d'homotopie faible du groupe des symplectomorphismes à support compact, $\text{Symp}_c(B_{p,q})$.
   • Diagrammes en peigne : Ils utilisent des « diagrammes en peigne », un outil reliant le groupe de symplectomorphismes d'une variété à celui d'une sous-variété et de son complément. Ils relient $\text{Symp}_c(B_{p,q})$ au groupe $\text{Symp}_c(W_{p,q})$, où $W_{p,q} = B_{p,q} \setminus K_{p,q}$ (le complément du cylindre central).
   • Complétion de Liouville : Ils identifient $W_{p,q}$ comme un domaine en forme d'étoile dans $T^*Wh$, le fibré cotangent de la sphère de Whitney. En utilisant des résultats sur la contractibilité des groupes de symplectomorphismes de tels domaines, ils montrent que $\text{Symp}_c(W_{p,q})$ est faiblement contractile.
   • Le tour de pint : Ils démontrent que $\text{Symp}_c(B_{p,q})$ est faiblement équivalent d'homotopie à $\mathbb{Z}$, généré par un symplectomorphisme spécifique appelé tour de pint $\tau_{p,q}$. Cette application est la monodromie symplectique associée au lissage de la singularité sous-jacente.
   • Conclusion : Puisque le tour de pint préserve le squelette lagrangien à isotopie hamiltonienne près (comme démontré via le théorème d'extension de Banyaga et la cohomologie nulle), tout symplectomorphisme envoyant $L$ sur $L^{\text{st}}_{p,q}$ peut être composé avec une puissance du tour de pint pour produire une isotopie hamiltonienne.

Contributions et résultats clés

• Théorème principal (Théorème A) : Toute girouette lagrangienne $(p, q)$ dans $B_{p,q}$ est isotopique hamiltonienne au squelette lagrangien standard $L^{\text{st}}_{p,q}$. Cela établit la conjecture de Lagrangiennes voisines pour cette large classe de Lagrangiennes singulières.
• Classification symplectique (Théorème B) : Toute paire de girouettes lagrangiennes $(p, q)$ dans $B_{p,q}$ est reliée par un symplectomorphisme à support compact.
• Structure du groupe de symplectomorphismes (Théorème C) : Le groupe $\text{Symp}_c(B_{p,q})$ est faiblement équivalent d'homotopie à $\mathbb{Z}$, généré par le tour de pint $\tau_{p,q}$. Cela fournit le premier calcul de ce groupe pour $p > 2$ (les résultats précédents n'existaient que pour $p=1, 2$).
• Applications :
  1. Non-écrasement des girouettes-boules : Les auteurs prouvent un théorème de non-écrasement de Gromov pour les « girouettes-boules » $B_{p,q}(r)$, montrant qu'elles s'injectent dans des cylindres-girouettes $E_{p,q}(\alpha, \infty)$ si et seulement si $r \le \alpha$. L'obstruction provient de l'aire des courbes exceptionnelles dans le soufflage rationnel.
  2. Dénouement local : Ils fournissent une nouvelle preuve du théorème d'Eliashberg–Polterovich sur le dénouement local des plans lagrangiens dans $\mathbb{R}^4$, considérant la girouette $(1,1)$ (un disque lagrangien) comme un cas particulier.
  3. Unicité des types de girouettes : Ils montrent que les seules girouettes lagrangiennes plongeables dans $B_{p,q}$ sont de type $(p, q)$ (ou $(p, p-q)$), étendant les résultats précédents sur la non-existence de Lagrangiennes exactes lisses dans ces boules.

Portée et affirmations
L'article prétend résoudre la conjecture de Lagrangiennes voisines pour une classe significative de Lagrangiennes singulières qui servent de « sections nulles » pour les boules d'homologie rationnelle. Les auteurs soulignent que leur approche exploite l'interplay entre la géométrie symplectique et la géométrie algébrique des singularités de surfaces (spécifiquement les singularités de Wahl).

La portée réside dans :

• Extension de la NLC : Le dépassement des variétés lisses pour atteindre les Lagrangiennes singulières, qui sont des objets naturels dans l'étude des singularités symplectiques et de la symétrie miroir.
• Nouvelles techniques : L'application réussie des « règlements » et de l'étirement de cou dans le contexte des boules d'homologie rationnelle, contournant la nécessité d'une compactification globale de l'espace ambiant de la même manière que les travaux précédents sur $T^*Q$.
• Calculs de groupes : Fournir une description complète du groupe des classes d'homotopie des applications symplectiques de $B_{p,q}$, révélant une structure générée par une opération géométrique naturelle (le tour de pint) analogue aux twists de Dehn.
• Obstructions quantitatives : Démontrer que les méthodes utilisées pour l'unicité produisent également des obstructions quantitatives à l'immersion (non-écrasement), reliant la topologie des girouettes aux capacités symplectiques.

Les auteurs notent que leur travail sert de « préquelle » à des théorèmes d'immersion plus larges pour les boules d'homologie rationnelle dans $\mathbb{CP}^2$, fournissant les résultats d'unicité locale nécessaires à ces classifications globales. Ils déclarent explicitement que leurs méthodes reposent sur la géométrie spécifique de $B_{p,q}$ et les fibrations presque toriques, et ne se généralisent pas immédiatement à toutes les dimensions ou à toutes les Lagrangiennes singulières sans développement supplémentaire.