On the Harris-Viehmann conjecture for Hodge-Newton reducible local Shimura data of abelian type

Résumé technique : Sur la conjecture de Harris–Viehmann pour les données de Shimura locales réductibles de type Hodge–Newton de type abélien

Énoncé du problème
L'article traite d'un cas spécifique de la conjecture de Harris–Viehmann, qui concerne la cohomologie $\ell$-adique des variétés de Shimura locales associées à des données de Shimura locales non basiques. La conjecture postule une formule d'induction parabolique pour ces groupes de cohomologie. Plus précisément, elle affirme que pour une donnée de Shimura locale non basique $(G, [b], \{\mu\})$ qui est réductible de type Hodge–Newton par rapport à un sous-groupe parabolique $P$ et un facteur de Levi $L$, la cohomologie de l'espace de Rapoport–Zink (RZ) associé $RZ_G$ est induite à partir de la cohomologie de l'espace RZ $RZ_L$ associé au sous-groupe de Levi. Une conséquence critique de cette conjecture est que toutes les représentations supercuspidales apparaissant dans la cohomologie des variétés de Shimura sont concentrées le long du lieu basique. Bien que la conjecture ait été établie pour les données de type PEL (Mantovan), les données de type Hodge (Hong) et des cas spécifiques comme $GL_n$ (Hansen), une preuve générale pour les données de Shimura locales non ramifiées de type abélien sous la réductibilité de type Hodge–Newton restait ouverte.

Méthodologie
Les auteurs, Sandra Nair et Xinyu Zhou, étendent la preuve de la conjecture de Harris–Viehmann au cadre de type abélien en exploitant la construction par Shen des espaces de Rapoport–Zink de type abélien. Leur méthodologie implique les étapes clés suivantes :

1. Réduction au type Hodge : Les auteurs utilisent la définition des données de type abélien, qui requiert un isomorphisme entre la donnée de Shimura locale adjointe de $G$ et celle d'une donnée auxiliaire de type Hodge $(H, [b_H], \{\mu_H\})$. Ils établissent que si $(G, [b_G], \{\mu_G\})$ est réductible de type Hodge–Newton, il existe une donnée de type Hodge associée qui est également réductible de type Hodge–Newton (Lemme 7.1).
2. Correspondance géométrique : La stratégie centrale consiste à relier la géométrie de l'espace RZ de type abélien $RZ_G$ à celle de l'espace RZ de type Hodge $RZ_H$. Les auteurs construisent un diagramme de correspondance impliquant les espaces RZ du parabolique $P$ et du Levi $L$ pour les cas abélien et de type Hodge.
3. Données de descente de Weil : Un composant technique significatif est la construction rigoureuse de la donnée de descente de Weil pour les espaces RZ de type abélien. Les auteurs définissent une donnée de descente $\Phi_{Shen}$ relative à une extension finie $E_{opt}$ du corps de réflexion, assurant la compatibilité avec les données de descente connues pour le type Hodge (via la construction de Kim) et les modules de shtukas locaux $p$-adiques (via Pappas–Rapoport). Ils prouvent que ces constructions coïncident (Théorème 6.3, Corollaire 6.5).
4. Fonctorialité et quotients : Les auteurs analysent la fonctorialité des espaces RZ sous les morphismes de données de Shimura locales. Ils traitent soigneusement le passage de la donnée de type Hodge $H$ à la donnée de type abélien $G$ via le quotient adjoint $Gad$. Cela implique la gestion des noyaux des applications sur les groupes fondamentaux ($\pi_1$) et l'établissement d'isomorphismes entre les schémas formels $RZ_G$, $RZ_{Gad}$ et leurs équivalents de type Hodge modulo des actions de groupes spécifiques (Lemme 5.1, Lemme 10.4).
5. Comparaison cohomologique : En établissant des isomorphismes entre la cohomologie des composantes « plus » ($RZ^+$) des espaces abélien et de type Hodge, et en utilisant les résultats connus pour le cas de type Hodge (spécifiquement les travaux de Hong et Mantovan), les auteurs transfèrent la propriété d'induction parabolique du cadre de type Hodge au cadre de type abélien.

Contributions et résultats clés

• Théorème principal (Théorème 1.1) : L'article prouve que pour une donnée de Shimura locale non ramifiée $(G, [b], \{\mu\})$ de type abélien qui est réductible de type Hodge–Newton par rapport à un parabolique $P$ et un Levi $L$, et pour toute représentation $\ell$-adique admissible $\rho$ de $J_b(\mathbb{Q}_p)$, l'égalité suivante vaut en tant que représentations virtuelles de $G(\mathbb{Q}_p) \times W_{E_{opt}}$ :
  $$H^\bullet(RZ^\infty_G)_\rho = \text{Ind}_{P(\mathbb{Q}_p)}^{G(\mathbb{Q}_p)} H^\bullet(RZ^\infty_L)_\rho$$
  Ici, $E_{opt}$ est une extension finie spécifique du corps de réflexion construite dans le Théorème 6.3.
• Construction de la descente de Weil : Les auteurs fournissent une construction complète et autonome de la donnée de descente de Weil pour les espaces RZ de type abélien, résolvant les ambiguïtés potentielles concernant la dépendance aux données de type Hodge auxiliaires (Lemme 6.4).
• Fonctorialité des espaces RZ : L'article établit que la formation des espaces RZ de type abélien respecte les produits et les plongements fermés de données de Shimura locales (Proposition 8.2), généralisant les résultats précédents connus pour le type Hodge.
• Réduction au cas adjoint : La preuve réduit efficacement le problème pour les données de type abélien au cas adjoint, en utilisant la surjectivité de l'application $\pi_1(H)^\Gamma \to \pi_1(H^{ad})^\Gamma$ (une condition satisfaite par les groupes de similitude comme $GL_n$ et $GSp_{2n}$).

Signification
L'article prétend étendre la validité de la conjecture de Harris–Viehmann à une classe plus large de données de Shimura locales, spécifiquement les données non ramifiées de type abélien, qui contiennent strictement la classe des données de type Hodge. En confirmant la formule d'induction parabolique dans ce cadre, l'œuvre renforce la compréhension structurelle de la cohomologie des variétés de Shimura. Comme noté dans l'introduction, ce résultat soutient l'attente plus large au sein du programme de Langlands selon laquelle les représentations supercuspidales sont concentrées le long du lieu basique. Les auteurs ne prétendent pas résoudre la conjecture pour toutes les données de Shimura locales (par exemple, les cas non réductibles ou non non ramifiés), mais ciblent spécifiquement le cas réductible de type Hodge–Newton pour les types abéliens, s'appuyant sur les travaux fondateurs de Mantovan, Hong et Shen.