Variational formulation of hyperbolic conservation laws

Résumé technique : Formulation variationnelle des lois de conservation hyperboliques

Énoncé du problème
L'article aborde une question fondamentale posée par K. O. Friedrichs concernant l'origine de la symétrie dans les systèmes de lois de conservation hyperboliques. Alors que Friedrichs et Lax ont établi que l'existence d'une fonction entropie strictement convexe implique que le système peut être symétrisé (c'est-à-dire que les matrices jacobiennes peuvent être symétrisées par le hessien de l'entropie), Friedrichs s'est interrogé pour savoir si cette symétrie est une propriété intrinsèque qui peut être dérivée des lois de conservation elles-mêmes, plutôt qu'une hypothèse imposée au système. Cela est particulièrement pertinent pour les systèmes comportant $N \geq 3$ équations, où la condition de symétrie constitue un système surdéterminé pour le hessien de l'entropie, et où les fonctions entropie n'existent pas toujours (par exemple, les systèmes « complètement non conservatifs »).

De plus, l'article examine la sélection des solutions faibles physiquement pertinentes. Alors que l'inégalité d'entropie ($\eta_t + \nabla \cdot q_\eta \leq 0$) sert de critère de sélection pour les lois scalaires et les systèmes 1D, elle ne garantit pas l'unicité dans les systèmes multidimensionnels ($N \geq 2$). Dafermos a proposé un principe de « production maximale d'entropie » (MaxEnt) comme critère de sélection plus fort, mais des contre-exemples existent où ce principe échoue également à fournir une solution unique. L'article cherche à reformuler le problème afin de dériver simultanément la fonction entropie et le principe MaxEnt à partir d'un cadre variationnel.

Méthodologie
L'auteur introduit une formulation variationnelle basée sur un fonctionnel d'action $I_\eta(u)$ défini sur un espace de fonctions d'état $u$ et un ensemble d'observables $\eta$.

1. Solutions variationnelles : Une paire $(\eta, u)$ est définie comme une solution variationnelle si $u$ est un minimiseur du fonctionnel d'action $I_\eta$ parmi tous les états admissibles. Le fonctionnel d'action est donné par :
   $$I_\eta(u) = \int_{t_1}^{t_2} \int_\Omega \langle \nabla \eta(u), u_t + \sum_{j=1}^d f_j(u)_{x_j} \rangle_\phi \, dx \, dt$$
   Ici, l'intégrande fait intervenir des produits non conservatifs (en raison de discontinuités potentielles dans $u$), interprétés au sens de Dal Maso, LeFloch et Murat (DLM) en utilisant un chemin spécifique $\phi$.

2. Dérivation de la symétrie : L'article considère deux types de perturbations :

   • Perturbations linéaires de l'observable ($\eta_c = \eta + \langle c, u \rangle$) : Exiger que l'action soit minimisée par rapport à ces perturbations force $u$ à satisfaire les lois de conservation au sens faible.
   • Perturbations locales lisses de l'état ($u + \delta u$) : Exiger que l'action soit stationnaire par rapport à ces perturbations conduit à la condition :
     $$D^2\eta(u) A_j(u) = A_j(u)^\top D^2\eta(u)$$
     Il s'agit précisément de la condition de symétrisabilité. Ainsi, l'existence d'une fonction entropie est dérivée comme une condition nécessaire à la stationnarité du principe variationnel, plutôt que d'être supposée a priori.

3. Dérivation de l'inégalité d'entropie et du MaxEnt : En restreignant l'ensemble des observables à ceux qui satisfont la condition de symétrisabilité (c'est-à-dire les fonctions entropie), le fonctionnel d'action se simplifie en la variation totale d'entropie plus le flux aux frontières. La propriété de minimisation de la solution variationnelle implique alors que la solution minimise le taux de production d'entropie (ou maximise la dissipation d'entropie) par rapport aux perturbations locales. Cela fournit une version locale du principe MaxEnt de Dafermos directement à partir de la formulation variationnelle.

Contributions et résultats clés

• Dérivation de l'entropie : L'article répond à la question de Friedrichs en montrant que, pour les systèmes admettant une solution variationnelle, la fonction entropie n'est pas une hypothèse externe mais un objet extrémal dérivé du principe variationnel. Le hessien de la fonction entropie est montré comme étant le symétriseur des jacobiennes du système.
• Classification des systèmes : La formulation distingue entre les « systèmes entropiques » (qui admettent un ensemble non vide d'observables/entropies et donc de solutions variationnelles) et les « systèmes non entropiques » (où l'ensemble des observables est vide et aucune solution variationnelle n'existe).
• Principe MaxEnt local : L'article démontre que le principe variationnel implique une version locale du critère MaxEnt de Dafermos. Plus précisément, une solution variationnelle minimise le taux de production d'entropie local parmi toutes les solutions faibles qui coïncident avec la solution jusqu'à un certain temps.
• Limites de l'unicité : L'article reconnaît que, bien que la formulation variationnelle fournisse un cadre rigoureux pour dériver l'entropie et le principe MaxEnt, elle ne résout pas automatiquement le problème de l'unicité pour les systèmes multidimensionnels. Il cite des travaux récents (par exemple, De Lellis, Székelyhidi, Chiodaroli, etc.) montrant que même le principe MaxEnt échoue à sélectionner une solution unique pour certaines données initiales dans les équations d'Euler isentropiques. La formulation variationnelle est notée comme étant plus restrictive que le critère MaxEnt local, mais l'existence d'un espace de perturbations $W$ approprié garantissant l'unicité reste une question ouverte.

Signification
L'article revendique une importance en fournissant un cadre théorique unifié qui :

1. Dérive la symétrie : Il modifie le statut de l'entropie, la faisant passer d'une contrainte physique imposée à une conséquence mathématique d'un principe variationnel, répondant ainsi à l'interrogation de Friedrichs sur l'origine de la symétrie.
2. Unifie les principes de sélection : Il relie le concept de solutions faibles, l'existence de fonctions entropie et le critère de sélection MaxEnt au sein d'une structure variationnelle unique.
3. Clarifie la portée : Il délimite explicitement la classe des systèmes pour lesquels une telle formulation est possible (systèmes entropiques) et met en lumière les limites des principes de sélection actuels pour garantir l'unicité dans les lois de conservation hyperboliques multidimensionnelles.

Ce travail est présenté comme une étape vers une compréhension plus profonde de la structure mathématique des lois de conservation hyperboliques, honorant l'héritage de Peter Lax et le travail fondateur de Friedrichs, tout en reconnaissant que le « scandale scientifique » de la non-unicité dans les écoulements compressibles multidimensionnels demeure un défi ouvert.