Résumé technique : Stabilité des applications de transport optimal et variation seconde de la distance de Monge–Kantorovich 2

1. Énoncé du problème

L'article aborde la stabilité quantitative des applications et des potentiels de transport optimal dans le contexte du coût quadratique ($p=2$). Plus précisément, il examine comment l'application de transport optimal $T = \nabla \phi$ et le potentiel de Brenier associé $\phi$ évoluent lorsque la densité source $f$ et la densité cible $g$ sont perturbées.

Alors que la stabilité qualitative (convergence en mesure ou convergence uniforme sous des hypothèses fortes) est bien établie via des arguments de compacité, les auteurs se concentrent sur l'obtention d'estimations quantitatives. Ces estimations bornent la distance entre les applications/potentiels optimaux correspondant à différentes densités en fonction de la distance entre les densités elles-mêmes (mesurée dans $L^p$, $L^2$ ou la distance de Monge–Kantorovich 2). Le travail cible spécifiquement des contextes où les densités sont non dégénérées (bornées away from zero) et possèdent une régularité Hölderienne, sur des domaines uniformément convexes.

2. Méthodologie

La stratégie technique centrale consiste à linéariser l'équation de Monge–Ampère le long d'interpolations lisses des données. La méthodologie procède comme suit :

1. Interpolation : Étant donné deux paires de densités $(f_0, g_0)$ et $(f_1, g_1)$, les auteurs construisent une courbe lisse de densités $\{(f_t, g_t)\}_{t \in [0,1]}$.
   • Pour le Théorème 1.1, ils utilisent les géodésiques de Monge–Kantorovich 2 (formulation de Benamou–Brenier).
   • Pour les Théorèmes 1.2 et 1.3, ils utilisent une interpolation linéaire dans les espaces $L^p$.
2. Différentiation des potentiels : Ils définissent une courbe de potentiels de Brenier $\phi_t$ correspondant à $(f_t, g_t)$. La différence $\phi_1 - \phi_0$ est exprimée comme l'intégrale de sa dérivée temporelle : $\phi_1 - \phi_0 = \int_0^1 \partial_t \phi_t \, dt$.
3. Équation linéarisée : La dérivée $\xi_t = \partial_t \phi_t$ est caractérisée comme l'unique solution d'une équation de Monge–Ampère linéarisée dérivée sous forme divergence :
   $$-\text{div}\left[ f_t (D^2 \phi_t)^{-1} \nabla \xi_t \right] = \left( \frac{\partial_t g_t(\nabla \phi_t)}{g_t(\nabla \phi_t)} - \frac{\partial_t f_t}{f_t} \right) f_t \quad \text{dans } \Omega,$$
   soumise à des conditions aux limites de Neumann.
4. Régularité et ellipticité : Une étape cruciale consiste à établir que la matrice de coefficients $(D^2 \phi_t)^{-1}$ reste uniformément elliptique et que la solution $\xi_t$ conserve une régularité suffisante (par exemple, $C^{1,\alpha}$) le long du chemin d'interpolation. Cela repose sur :
   • Lemme 1.7 : Un argument de compacité prouvant que si les densités sont $C^{0,\beta}$ et non dégénérées, le potentiel de Brenier est $C^{2,\alpha}$ jusqu'au bord.
   • Théorème des fonctions implicites : Utilisé pour prouver la régularité de l'application $t \mapsto \phi_t$ dans des espaces de Banach appropriés (Théorème 1.5).
5. Estimation : En estimant $\xi_t$ à l'aide de la théorie de la régularité elliptique (estimates de Schauder, bornes $L^\infty$) et en intégrant sur $t$, les auteurs dérivent les bornes de stabilité finales.

3. Contributions et résultats clés

A. Estimations de stabilité quantitative

L'article établit trois théorèmes de stabilité principaux sous l'hypothèse de densités non dégénérées et Höldériennes sur des domaines uniformément convexes à bords lisses :

• Théorème 1.1 (Stabilité Lipschitzienne en $L^2$) :
  Pour des densités Höldériennes, les auteurs prouvent la continuité Lipschitzienne des applications de transport optimal dans la norme $L^2$ par rapport à la distance de Monge–Kantorovich 2 ($d_2$) entre les densités :
  $$\|\nabla \phi_1 - \nabla \phi_0\|_{L^2} \leq C [d_2(f_0, f_1) + d_2(g_0, g_1)].$$
  Cela améliore les résultats précédents (par exemple, Berman [20]) qui impliquaient souvent des exposants dépendant de la dimension ou nécessitaient une régularité plus forte. Les auteurs notent que ce comportement Lipschitzien est une caractéristique particulière des mesures régulières et non dégénérées.

• Théorème 1.2 (Stabilité sans hypothèse de continuité) :
  En supprimant l'hypothèse de continuité Hölderienne mais en conservant l'intégrabilité $L^2$ et la non-dégénérescence, les auteurs obtiennent une estimation de stabilité Lipschitzienne pour les potentiels de Brenier dans la norme $L^2$ :
  $$\|\phi_0 - \phi_1\|_{L^2} \leq C (\|f_0 - f_1\|_{L^2} + \|g_0 - g_1\|_{L^2}).$$
  Ils déduisent également une estimation correspondante pour les gradients avec un exposant de puissance $1/3$. Les auteurs émettent l'hypothèse que la borne $L^2$ sur les potentiels pourrait potentiellement être améliorée en une borne $L^\infty$ si une inégalité de Sobolev spécifique pour l'opérateur linéarisé pouvait être démontrée.

• Théorème 1.3 (Stabilité uniforme en $C^{1,\alpha}$) :
  Dans un cadre métrique uniforme, les auteurs prouvent que pour des densités $C^{0,\beta}$, les applications optimales sont stables dans la norme $C^{1,\alpha}$ par rapport aux distances $L^p$ des densités (où $p = d/(1-\alpha)$) :
  $$\|\phi_1 - \phi_0\|_{C^{1,\alpha}} \leq C (\|f_1 - f_0\|_{L^p} + \|g_1 - g_0\|_{L^p}).$$
  Contrairement aux estimations intérieures précédentes (par exemple, [28, 29]), ce résultat est global, s'applique aux perturbations autour d'applications non identités, et ne souffre pas d'exposants décroissants avec la dimension. Les auteurs soulignent que la condition de borne inférieure ($g_i \geq a > 0$) est fondamentale ; sans elle, même en dimension 1, aucun exposant de stabilité Hölderienne $\eta < 1$ n'existe.

B. Variation seconde de la distance

• Théorème 1.4 : Les auteurs dérivent une formule explicite pour la variation seconde du carré de la distance de Monge–Kantorovich 2 le long d'une perturbation de densités.
  $$\frac{1}{2} \frac{d^2}{dt^2}\bigg|_{t=0} [d_2(f_t, g_t)^2] = \int_\Omega \langle (D^2 \phi_0)^{-1} \nabla \xi, \nabla \xi \rangle f \, dx,$$
  où $\xi$ est la solution de l'équation linéarisée. Cette formule quantifie la convexité linéaire de la distance et étend les calculs formels précédemment trouvés dans [30] (qui étaient restreints aux perturbations autour de l'identité) aux applications de transport optimal régulières générales.

C. Outil technique : Différentiabilité temporelle

• Théorème 1.5 & Corollaire 1.6 : Une partie significative du travail est consacrée à prouver que le potentiel de Brenier $\phi_t$ est différentiable par rapport au paramètre d'interpolation $t$. Les auteurs caractérisent la dérivée $\partial_t \phi_t$ comme la solution faible de l'équation de Monge–Ampère linéarisée sous forme divergence. Ce résultat présente un intérêt indépendant pour l'analyse des problèmes de transport optimal dépendant du temps.

4. Importance et affirmations

Les auteurs positionnent leur travail comme une avancée significative dans la stabilité quantitative du transport optimal, un domaine de recherche actuellement actif.

• Amélioration des exposants : L'article prétend fournir des estimations de stabilité Lipschitziennes (exposant 1) dans des contextes où la littérature précédente produisait souvent des exposants sous-linéaires (par exemple, $1/2$, $1/5$, ou des exposants décroissants dépendant de la dimension).
• Global vs Intérieur : Le Théorème 1.3 est mis en avant comme une estimation globale, contrastant avec les résultats antérieurs qui étaient souvent restreints à des estimations intérieures ou à des contextes géométriques spécifiques (par exemple, surfaces de codimension un).
• Variation seconde explicite : La dérivation de la formule de variation seconde est présentée comme un outil qui quantifie explicitement la convexité de la distance de Monge–Kantorovich, étendant la compréhension théorique au-delà de l'application identité.
• Limitations : Les auteurs sont modestes quant à la portée, affirmant explicitement que leurs résultats reposent sur des densités non dégénérées (bornées away from zero) et une régularité Hölderienne. Ils reconnaissent que pour des mesures discrètes ou des densités s'annulant, la nature Lipschitzienne des estimations s'effondre, et que les exposants optimaux peuvent être plus faibles (conjecturés à $1/2$ pour des cibles discrètes). Ils ne prétendent pas résoudre la stabilité pour des mesures générales irrégulières ou des cibles singulières.

En résumé, l'article fournit un cadre rigoureux pour linéariser l'équation de Monge–Ampère sous forme divergence afin d'obtenir des bornes de stabilité quantitatives précises pour les applications et potentiels de transport optimal sous des hypothèses de régularité et de non-dégénérescence, tout en fournissant une nouvelle formule pour la variation seconde de la distance de transport.