Proxy smallness meets $t$-structures

Résumé technique : La petitesse des proxy rencontre les t-structures

1. Problème et motivation
L'article traite des limites de la « petitesse des proxy », un concept introduit par Dwyer, Greenlees et Iyengar [DGI06a, DGI06b] comme un affaiblissement de la compacité dans les catégories triangulées. Bien que la petitesse des proxy caractérise avec succès les singularités d'intersection complète locale (LCI) dans le cadre local (par exemple [Pol19]) et ait été affinée via des actions tensorielles pour caractériser les schémas LCI globalement ([BILP22]), elle ne se comporte pas bien sous la globalisation lorsqu'elle est examinée à travers le prisme des $t$-structures. Plus précisément, les analogues globaux naïfs de la petitesse des proxy ne capturent pas les propriétés géométriques correctes lors du passage des cadres locaux aux cadres globaux.

Les auteurs visent à introduire un raffinement naturel de la petitesse des proxy qui intègre les $t$-structures et les actions tensorielles. L'objectif central est de développer une théorie de la « petitesse des proxy pour les $t$-structures » (spécifiquement la $t$-petitesse des proxy et la $t$-$\otimes$-petitesse des proxy) afin de fournir de nouvelles caractérisations des schémas LCI et de classifier des sous-catégories spécifiques (pré-allées) au sein de la catégorie dérivée bornée des faisceaux cohérents, $D^b_{\text{coh}}(X)$.

2. Méthodologie et cadre
La théorie est développée dans le contexte des catégories triangulées tensorielles rigides et compactement générées, en se concentrant spécifiquement sur $D_{\text{qc}}(X)$ pour un schéma noethérien $X$. La méthodologie repose sur trois piliers techniques principaux :

• Actions tensorielles et pré-allées : Les auteurs utilisent l'action de la catégorie des complexes parfaits, $\text{Perf}(X)$, sur $D_{\text{qc}}(X)$ et les catégories apparentées (telles que la catégorie homotopique des injectifs $K(\text{Inj}(X))$). Ils définissent les $\otimes$-pré-allées (sous-catégories closes par les décalages positifs, les extensions, les facteurs directs et le produit tensoriel avec $\text{Perf}_{\leq 0}(X)$).
• Recollages : Un outil crucial est le recollement de Krause reliant $D_{\text{qc}}(X)$, $K(\text{Inj}(X))$ et la catégorie des singularités $D_{\text{sg}}(X)$. Les auteurs utilisent ce cadre pour « recoller » les $t$-structures et analyser comment des propriétés telles que la petitesse des proxy se comportent à travers ces catégories.
• Génération pseudocoherente : L'article étend les résultats du cas affine aux schémas noethériens arbitraires en étudiant les allées générées par des complexes pseudocoherents. Un résultat technique clé (Théorème 3.5) établit que les $\otimes$-allées générées par des complexes pseudocoherents sont compactement générées, généralisant ainsi [ATJLS10].

3. Définitions clés et contributions

• $t$-Petitesse des proxy : Un objet $P$ est défini comme $t$-petit des proxy si la pré-allée cocomplète générée par $P$, notée $\langle P \rangle^{(-\infty, 0]}$, est compactement générée et si ses objets compacts appartiennent à la pré-allée générée par les objets compacts de $P$. Cela restreint le processus de « construction » aux suspensions positives et aux extensions, contrairement à la petitesse des proxy classique qui autorise des opérations triangulées arbitraires.
• $t$-$\otimes$-Petitesse des proxy : Cela étend le concept à la présence d'une action tensorielle. Un objet est $t$-$\otimes$-petit des proxy si le $\otimes$-pré-allée qu'il génère satisfait la condition de $t$-petitesse des proxy.
• Caractérisation structurelle (Théorème 4.7) : Les auteurs caractérisent les objets $t$-petits des proxy via des recollements. Un objet $P$ est $t$-petit des proxy si et seulement si :
  1. La pré-allée $\langle P \rangle^{(-\infty, 0]}$ est compactement générée.
  2. Un endofoncteur spécifique impliquant le Hom dérivé et le produit tensoriel préserve les petites coproduits.
  3. La $t$-structure standard de l'algèbre dg-endomorphisme de $P$ se recolle le long du recollement pertinent.
• Distinction par rapport à la petitesse des proxy classique : L'article démontre que la $t$-petitesse des proxy est une condition strictement plus forte. L'Exemple 4.11 construit un objet dans $D^b_{\text{coh}}(R)$ (où $R$ est un anneau artinien local spécifique) qui est petit des proxy mais pas $t$-petit des proxy. Cela repose sur des contre-exemples théoriques des modules aux conjectures d'Eisenbud et Auslander trouvés dans [JŞ04] et [GP90].

4. Résultats principaux

• Caractérisation des schémas LCI (Proposition 1.2) : L'article fournit une nouvelle caractérisation des schémas localement d'intersection complète. Pour un schéma noethérien $X$, les énoncés suivants sont équivalents :

  1. $X$ est localement une intersection complète.
  2. Tout objet de $D^b_{\text{coh}}(X)$ est $\otimes$-petit des proxy.
  3. Tout objet de $D^b_{\text{coh}}(X)$ est $t$-$\otimes$-petit des proxy.
     La nouveauté réside dans la condition (3), qui offre un raffinement $t$-structurel des caractérisations existantes. La preuve utilise une propriété du local au global établie via le Lemme 6.8, montrant que l'appartenance à une allée compactement générée sur $K(\text{Inj}(X))$ est une condition locale aux fibres.

• Classification des pré-allées (Théorème 1.1 et Théorème 5.4) : Les auteurs établissent une application injective $\Theta$ de l'ensemble des sous-catégories $\otimes$-suspendues de $D^b_{\text{coh}}(X)$ (générées par des objets $t$-$\otimes$-petits des proxy) vers le produit cartésien de :

  • Les sous-catégories $\star$-suspendues de la catégorie des singularités $D_{\text{sg}}(X)$.
  • Les filtrations de Thomason sur $X$.
    L'application est donnée par $A \mapsto (\langle \pi(A) \rangle^{(-\infty, 0]}, \phi_A)$, où $\pi$ est la localisation de Verdier et $\phi_A$ est la filtration de Thomason associée à l'allée générée dans $D_{\text{qc}}(X)$.

• Classifications explicites dans des cas spécifiques :

  • Singularités d'hypersurface (Théorème 1.3) : Si $X$ n'a que des singularités d'hypersurface, $\Theta$ devient une bijection entre les sous-catégories $\otimes$-suspendues de $D^b_{\text{coh}}(X)$ et les paires $(W, \phi)$, où $W$ est un sous-ensemble fermé par spécialisation du lieu singulier et $\phi$ est une filtration de Thomason satisfaisant une condition de contenance spécifique.
  • Zéros de sections (Théorème 1.5) : Pour les schémas $X$ apparaissant comme lieux des zéros de sections de fibrés vectoriels sur des schémas réguliers (satisfaisant des propriétés de résolution), la classification est affinée pour impliquer le lieu singulier d'un schéma d'hypersurface connexe $Y$. Ce résultat fournit une généralisation non affine de la classification de Takahashi [Tak25] pour les sous-catégories suspendues contenant le faisceau structural.

5. Signification et affirmations
L'article prétend fournir un « raffinement naturel » de la petitesse des proxy qui est sensible à la $t$-structure. Sa signification est double :

1. Caractérisation géométrique : Il offre un nouveau critère $t$-structurel pour identifier les schémas localement d'intersection complète, améliorant les résultats précédents pour traiter les cas non séparés et fournissant un principe local-global plus robuste.
2. Théorie de classification : Il produit une classification topologique des $\otimes$-pré-allées sur $D^b_{\text{coh}}(X)$ pour des classes spécifiques de schémas (hypersurfaces et lieux des zéros). Cette classification relie la géométrie du schéma (via les filtrations de Thomason) et ses singularités (via la catégorie des singularités) à la structure de sa catégorie dérivée.

Les auteurs soulignent que leur approche est indépendante des méthodes utilisées dans le travail récent de Takahashi [Tak25], offrant une preuve alternative et une généralisation aux cadres non affines. De plus, la construction de contre-exemples (Exemple 4.11) met en évidence les différences subtiles entre les notions classiques et $t$-structurelles de petitesse, en s'appuyant sur des résultats profonds en algèbre commutative concernant le comportement des modules sur les anneaux non-LCI.