A classification of triangular Riemann surfaces with $2p^2$ automorphisms

Résumé technique : Une classification des surfaces de Riemann triangulaires avec $2p^2$ automorphismes

Énoncé du problème
Cet article traite de la classification des surfaces de Riemann compactes de genre $g \geq 2$ admettant une action « triangulaire » par un groupe fini d'ordre $2p^2$, où $p$ est un nombre premier impair. Une action triangulaire est définie comme une action où l'espace quotient est de genre 0 et où l'application de revêtement ramifie en exactement trois points (signature $(0; m_1, m_2, m_3)$). De telles surfaces sont qualifiées de quasi-platoniciennes. Les auteurs visent à déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que des groupes abstraits d'ordre $2p^2$ agissent de manière triangulaire, à classifier les surfaces résultantes à isomorphisme près, à calculer leurs genres et leurs groupes d'automorphismes complets, et à fournir des modèles algébriques explicites. Ce travail étend les classifications antérieures, telles que celles pour les groupes d'ordre $pq$ (Streit et Wolfart) et les groupes cycliques/abéliens, au cas plus complexe de l'ordre $2p^2$, où plusieurs groupes non isomorphes et plusieurs actions distinctes par groupe se présentent.

Méthodologie
Les auteurs emploient la théorie combinatoire des groupes de Fuchsian et l'étude des inclusions entre eux, un cadre développé par Singerman. La méthodologie centrale comprend :

1. Analyse des signatures : Identifier lesquels des cinq groupes non isomorphes d'ordre $2p^2$ ($D_{p^2}$, $Z_{p^2} \rtimes Z_2$, $Z_{2p} \times Z_p$, $D_p \times Z_p$ et $Z_{2p^2}$) peuvent admettre une action triangulaire. Cela est réalisé en analysant les générateurs nécessaires pour projeter surjectivement un groupe de Fuchsian de signature $(0; m_1, m_2, m_3)$ sur le groupe cible.
2. Épimorphismes noyau-surface (SKE) : Construire des épimorphismes $\Phi: \Gamma \to G$ depuis des groupes de Fuchsian $\Gamma$ vers les groupes cibles $G$. Le noyau d'une telle application définit la surface de Riemann $S \cong \mathbb{H}/\ker(\Phi)$.
3. Extension des actions : Utiliser la liste des signatures maximales de Singerman et les critères établis par Bujalance, Cirre et Conder pour déterminer si une action donnée s'étend à un groupe d'automorphismes plus grand. Cela implique de vérifier les inclusions de groupes de Fuchsian et l'existence d'involutions spécifiques dans le groupe d'automorphismes satisfaisant les conditions d'extension.
4. Modélisation algébrique : Décrire les surfaces classifiées comme des revêtements cycliques de la droite projective (courbes $n$-gonales cycliques). Les auteurs dérivent des courbes affines planes explicites de la forme $y^n = \prod (x - \alpha_i)^{n_i}$ en analysant les valeurs de branchement et les nombres de rotation des automorphismes.
5. Classification par isomorphisme : Déterminer le nombre de surfaces non isomorphes en analysant les orbites des SKE sous l'action du groupe d'automorphismes du groupe de Fuchsian et du groupe cible.

Contributions et résultats clés
L'article fournit une classification complète des surfaces de Riemann compactes admettant une action triangulaire d'un groupe d'ordre $2p^2$. Les principaux résultats sont :

• Existence et dénombrement :

  • Les groupes $D_{p^2}$ et $Z_p^2 \rtimes Z_2$ n'admettent pas d'actions triangulaires pour $g \geq 2$.
  • Pour $p \geq 5$, il existe exactement $\frac{p^2 + 2p + 3}{2}$ surfaces de Riemann compactes deux à deux non isomorphes admettant une telle action.
  • Pour $p = 3$, il existe exactement 8 telles surfaces.
  • Les surfaces sont réparties parmi les groupes $Z_{2p} \times Z_p$, $D_p \times Z_p$ et $Z_{2p^2}$.

• Classifications spécifiques :

  • $Z_{2p} \times Z_p$ : Admet une action triangulaire unique de signature $(2p, 2p, p)$. La surface résultante est de genre $g = (p-1)^2$ et est isomorphe à la normalisation de $y^p = x^{2p} - 1$. Son groupe d'automorphismes complet est $D_p \times Z_{2p}$.
  • $D_p \times Z_p$ : Admet des actions de signatures $(2, p, 2p)$ et $(2p, 2p, p)$.
    • La signature $(2, p, 2p)$ donne une surface unique de genre $\frac{(p-1)(p-2)}{2}$, isomorphe à $y^p = (x^p - 1)^2$, avec un groupe d'automorphismes complet $Z_p^2 \rtimes D_3$.
    • La signature $(2p, 2p, p)$ donne $\frac{p+1}{2}$ surfaces non isomorphes de genre $(p-1)^2$. Elles sont décrites par les courbes $y^p = (x^p - 1)^2(x^p + 1)^{\epsilon}$. Leurs groupes d'automorphismes complets varient : $D_p^2 \rtimes Z_2$ pour un cas, $D_p \times Z_{2p}$ pour un autre, et $D_p \times Z_p$ pour les autres.
  • $Z_{2p^2}$ : Admet des actions avec quatre signatures distinctes : $(2, p^2, 2p^2)$, $(2p^2, 2p^2, p)$, $(2p, p^2, 2p^2)$ et $(2p^2, 2p^2, p^2)$.
    • Ceux-ci donnent $1 + \frac{p-1}{2} + (p-1) + \frac{p^2 - 2p + 1}{2}$ classes d'isomorphisme distinctes.
    • Des modèles algébriques explicites sont fournis pour chaque cas (par exemple, $y^{p^2} = x^2 + 1$, $y^p = x^2(x^{2p}-1)^m$, etc.).
    • Le groupe d'automorphismes complet est généralement $Z_{2p^2}$, sauf pour des cas spécifiques où il s'étend à $Z_{p^2} \rtimes D_4$.

• Corps de définition :

  • Un résultat significatif est que toutes les surfaces de Riemann identifiées sont définies sur les nombres rationnels ($\mathbb{Q}$). Cela découle du fait que leurs modèles algébriques sont donnés par des polynômes à coefficients rationnels.

• Classification des hypercartes :

  • Comme sous-produit, les auteurs classifient les hypercartes orientablement régulières (ou dessins d'enfants) dont les groupes d'automorphismes préservant l'orientation sont d'ordre $2p^2$. Pour $p \geq 5$, il existe exactement $p^2 + p$ telles hypercartes non équivalentes.

Signification
L'article revendique une importance dans plusieurs domaines :

1. Complétude : Il fournit une classification définitive pour l'ordre spécifique $2p^2$, un cas plus complexe que l'ordre $pq$ précédemment étudié en raison de l'existence de groupes non abéliens et de multiples types d'actions.
2. Rationalité : Le résultat selon lequel toutes ces surfaces sont définies sur $\mathbb{Q}$ contraste avec le comportement général des surfaces de Riemans avec automorphismes, qui nécessitent souvent des corps de nombres. Cela renforce la nature arithmétique particulière des surfaces quasi-platoniciennes.
3. Modèles algébriques : La construction explicite de courbes affines planes pour chaque classe d'isomorphisme permet une étude computationnelle concrète et relie la classification géométrique à la géométrie algébrique.
4. Géométrie de l'espace des modules : En identifiant le lieu singulier de l'espace des modules $M_g$ correspondant à ces actions de groupe spécifiques, le travail contribue à la compréhension de la géométrie de l'espace des modules des surfaces de Riemann.
5. Lien combinatoire : La classification comble le fossé entre la théorie des surfaces de Riemann et la combinatoire des hypercartes, offrant une liste complète des hypercartes orientablement régulières pour cet ordre d'automorphisme spécifique.

Les auteurs soulignent que leurs résultats sont dérivés par une application rigoureuse de la théorie des groupes de Fuchsian et ne reposent pas sur des conjectures non prouvées, fournissant ainsi une base solide pour de futures études des propriétés arithmétiques et géométriques de ces surfaces.