Holomorphic Lie algebroid connections over rationally connected varieties

Résumé technique : Connexions de Lie algebroïdes holomorphes sur les variétés rationnellement connexes

Énoncé du problème
L'article étudie l'existence et les propriétés des connexions de Lie algebroïdes holomorphes sur les fibrés vectoriels au-dessus de variétés projectives complexes lisses. Alors que les connexions holomorphes sur les fibrés vectoriels au-dessus de surfaces de Riemann compactes sont bien comprises (l'existence implique la platitude, et l'existence est régie par des conditions de degré sur les sommes directes indécomposables), la situation sur les variétés de dimension supérieure est plus restrictive. Plus précisément, les auteurs abordent le comportement de ces connexions lorsque la variété de base $X$ est rationnellement connexe (où deux points quelconques peuvent être reliés par une courbe rationnelle irréductible) et que la structure sous-jacente est un Lie algebroïde holomorphe général $(V, \phi)$ plutôt que le fibré tangent standard $(TX, \text{Id}_{TX})$.

La question centrale est la suivante : dans quelles conditions un fibré vectoriel holomorphe $E$ sur une variété rationnellement connexe $X$ admet-il une $(V, \phi)$-connexion, et si une telle connexion existe, est-elle nécessairement plate ?

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de techniques de géométrie algébrique et de la théorie des Lie algebroïdes :

1. Cadre des Lie algebroïdes : L'article utilise la définition d'un Lie algebroïde $(V, \phi)$, où $V$ est un fibré vectoriel holomorphe et $\phi: V \to TX$ est la flèche d'ancrage. Une $(V, \phi)$-connexion est définie comme une application holomorphe $\mathbb{C}$-linéaire $\nabla: E \to E \otimes V^*$ satisfaisant la règle de Leibniz impliquant le dual de la flèche d'ancrage $\phi^*$.
2. Formulation par les fibrés jets : L'existence d'une $(V, \phi)$-connexion est caractérisée par la scission d'une suite exacte courte spécifique impliquant le fibré $V$-jet d'ordre un $J^1_V(E)$. Plus précisément, $E$ admet une connexion si et seulement si la suite $0 \to E \otimes V^* \to J^1_V(E) \to E \to 0$ se scinde holomorphiquement.
3. Restriction aux courbes rationnelles : Une étape méthodologique clé consiste à restreindre le problème à des morphismes non constants $f: \mathbb{P}^1 \to X$. Puisque $X$ est rationnellement connexe, de telles courbes sont abondantes. Les auteurs font le tiré en arrière du Lie algebroïde $(V, \phi)$ et du fibré $E$ vers $\mathbb{P}^1$, construisant un nouveau Lie algebroïde $(V_f, \hat{\phi})$ au-dessus de $\mathbb{P}^1$.
4. Conditions d'amplitude et de nef strict : Les preuves reposent fortement sur les propriétés du noyau $S := \text{Ker}(\phi)$. Les auteurs supposent que $S$ est nef strict. Ils utilisent le fait que le tiré en arrière d'un fibré nef strict vers $\mathbb{P}^1$ reste nef strict (et possède donc des composantes de degré positif). Cela leur permet d'invoquer des théorèmes de nullité (via la dualité de Serre) pour montrer que certaines classes d'extensions s'annulent, forçant les suites pertinentes à se scinder.
5. Analyse de la courbure : Pour prouver la platitude, les auteurs analysent la courbure $K(\nabla) \in H^0(X, \text{End}(E) \otimes \bigwedge^2 V^*)$. En se restreignant aux courbes rationnelles où le tiré en arrière de $TX$ est ample, ils démontrent que le tiré en arrière de $V$ est également ample. Par conséquent, le fibré $\bigwedge^2 V^*$ est composé de fibrés en droites de degré négatif, conduisant à l'annulation des sections globales de la courbure sur ces courbes. Grâce à la densité de Zariski de telles courbes, la courbure globale s'annule.

Contributions et résultats clés
L'article établit deux théorèmes principaux sous l'hypothèse que $X$ est une variété projective complexe lisse rationnellement connexe et que $(V, \phi)$ est un Lie algebroïde avec une flèche d'ancrage surjective $\phi$ telle que $S := \text{Ker}(\phi)$ soit nef strict :

• Théorème 3.1 (Critère d'existence) : Un fibré vectoriel holomorphe $E$ sur $X$ admet une $(V, \phi)$-connexion si et seulement si $E$ est holomorphiquement trivial.

  • Mécanisme : La preuve montre que si une connexion existe, son tiré en arrière sur n'importe quelle courbe rationnelle $\mathbb{P}^1$ donne une connexion holomorphe sur un fibré au-dessus de $\mathbb{P}^1$. Puisque toute connexion holomorphe sur $\mathbb{P}^1$ implique que le fibré est trivial (en raison de la connexité simple et de la platitude), $f^*E$ est trivial pour toutes ces courbes. Cela force $E$ à être trivial sur $X$.

• Théorème 3.2 (Platitude) : Toute $(V, \phi)$-connexion sur un fibré vectoriel holomorphe sur $X$ (qui doit être trivial d'après le Théorème 3.1) est plate (intégrable).

  • Mécanisme : La courbure de la connexion, lorsqu'elle est restreinte aux courbes rationnelles où $f^*TX$ est ample, doit s'annuler car le groupe de cohomologie pertinent $H^0(\mathbb{P}^1, \bigwedge^2 f^*V^*)$ est nul en raison de la négativité des degrés du dual d'un fibré ample. Puisque ces courbes recouvrent un sous-ensemble de Zariski dense de $X$, la courbure globale est nulle.

• Corollaire 3.3 : Comme application spécifique, si $X$ est rationnellement connexe et que $E$ admet une connexion holomorphe usuelle (correspondant au Lie algebroïde $(TX, \text{Id}_{TX})$), alors $E$ est holomorphiquement trivial et la connexion est plate.

Signification et affirmations
L'article prétend généraliser des résultats connus concernant les connexions holomorphes sur les surfaces de Riemann et les variétés de Calabi-Yau au contexte plus large des variétés rationnellement connexes et des connexions de Lie algebroïdes.

• Unification : Ce travail unifie divers objets géométriques (fibrés de Higgs, connexions logarithmiques, connexions méromorphes) sous le cadre unique des connexions de Lie algebroïdes, montrant que pour les variétés rationnellement connexes avec des noyaux nef stricts, l'existence de telles structures est une condition extrêmement rigide.
• Rigidité : Les résultats mettent en évidence un phénomène de rigidité fort : sur les variétés rationnellement connexes avec les conditions de Lie algebroïde spécifiées, les seuls fibrés vectoriels capables de supporter une $(V, \phi)$-connexion sont les fibrés triviaux, et toute telle connexion est automatiquement plate.
• Portée : Les auteurs ne prétendent pas résoudre le problème pour toutes les variétés rationnellement connexes ou tous les Lie algebroïdes ; les résultats sont strictement conditionnés par la surjectivité de la flèche d'ancrage et la nef strict de son noyau. L'article présente ces découvertes comme une extension naturelle du travail classique d'Atiyah sur les connexions au-dessus des courbes vers des contextes rationnels de dimension supérieure.