Weak-strong uniqueness and low Mach number limit for a viscous compressible fluid around a rotating body

Résumé technique : Unicité faible-forte et limite de Mach faible pour un fluide visqueux compressible autour d'un corps en rotation

Formulation du problème
L'article étudie le comportement mathématique d'un fluide newtonien compressible isotherme s'écoulant autour d'un corps rigide $S$ qui subit un mouvement rigide indépendant du temps (rotation avec une vitesse angulaire $\omega$ fixe) dans un domaine non borné tridimensionnel $\Omega = \mathbb{R}^3 \setminus S$. La dynamique du fluide est régie par les équations de Navier-Stokes compressibles dans un référentiel attaché au corps en rotation. Le système inclut la conservation de la masse, l'équilibre de la quantité de mouvement avec les forces de Coriolis et centrifuges, des conditions aux limites de non-glissement sur le corps, et des conditions asymptotiques spécifiques à l'infini spatial où la densité tend vers une constante $\rho_\infty$ et la vitesse vers une constante $a_\infty$ (parallèle à $\omega$).

L'étude se concentre sur deux défis analytiques primordiaux :

1. Unicité faible-forte : Établir qu'une solution faible à énergie finie du système compressible coïncide avec une solution forte (si celle-ci existe) partageant les mêmes données initiales.
2. Limite de Mach faible : Prouver que lorsque le nombre de Mach tend vers zéro (représenté formellement par un paramètre d'échelle $\varepsilon \to 0$), les solutions du système compressible convergent vers la solution des équations de Navier-Stokes incompressibles pour un écoulement en rotation.

Méthodologie
L'outil central employé tout au long de l'article est l'Inégalité d'Énergie Relative (IER). Les auteurs dérivent un fonctionnel d'énergie relative, $E(\rho, u|\sigma, V)$, qui mesure la « distance » entre une solution faible $(\rho, u)$ et une fonction de comparaison suffisamment régulière $(\sigma, V)$. Ce fonctionnel combine la différence d'énergie cinétique et l'énergie interne relative (basée sur la convexité de la loi de pression).

La méthodologie procède comme suit :

• Dérivation de l'IER : Les auteurs établissent d'abord une inégalité d'énergie relative pour les solutions faibles à énergie finie du problème de domaine extérieur avec un corps en rotation. Cela implique de tester la formulation faible des équations de quantité de mouvement et de continuité avec les fonctions de comparaison et de traiter soigneusement le domaine non borné ainsi que les termes de rotation.
• Arguments d'approximation : Pour gérer le domaine non borné et les conditions aux limites spécifiques à l'infini, les auteurs utilisent des fonctions de coupure (cut-off) et l'opérateur de Bogovskiĭ afin de construire des fonctions tests sans divergence qui correspondent au comportement asymptotique de l'écoulement.
• Unicité faible-forte : En fixant la fonction de comparaison $(\sigma, V)$ comme étant une solution forte, l'IER est utilisée pour borner l'énergie relative. En utilisant des inégalités de type Korn et la coercitivité de l'énergie relative, les auteurs montrent que l'énergie relative doit s'annuler, impliquant que les solutions faible et forte sont identiques.
• Limite de Mach faible : Les auteurs introduisent un terme de pression rescalé ($\varepsilon^{-2}$) pour modéliser le régime de Mach faible. Ils appliquent l'IER mise à l'échelle avec la solution incompressible comme fonction de comparaison. En dérivant des bornes uniformes sur l'énergie relative et en utilisant des arguments de compacité (spécifiquement la convergence des parties « essentielles » et « résiduelles » de la densité), ils démontrent la convergence des solutions compressibles vers la limite incompressible.

Contributions clés et résultats

1. Principe d'unicité faible-forte :
   L'article prouve que pour les équations de Navier-Stokes compressibles autour d'un corps en rotation dans un domaine extérieur, toute solution faible à énergie finie coïncide avec une solution forte émanant des mêmes données initiales, à condition que la solution forte existe. Ce résultat est valable sous l'hypothèse que l'exposant adiabatique satisfait $\gamma > 6/5$, ce qui couvre une gamme plus large de gaz physiquement pertinents (incluant les gaz monoatomiques où $\gamma = 5/3$) que les résultats d'existence précédents pour les solutions faibles (qui exigent souvent $\gamma > 3/2$).

2. Limite de Mach faible :
   Les auteurs établissent la convergence des solutions du système compressible (avec pression rescalée) vers la solution des équations de Navier-Stokes incompressibles pour un écoulement en rotation lorsque le paramètre de Mach $\varepsilon \to 0$.

   • Convergence qualitative : Ils prouvent que si les données initiales sont « bien préparées » (c'est-à-dire que l'énergie relative initiale par rapport à la limite incompressible tend vers zéro quand $\varepsilon \to 0$), alors l'énergie relative de la solution reste petite uniformément dans le temps.
   • Estimations quantitatives : Sous des hypothèses de régularité supplémentaires sur la pression de la limite incompressible, l'article fournit des taux de convergence explicites. L'erreur dans l'énergie relative est montrée comme étant bornée par des termes d'ordre $O(\varepsilon + \varepsilon^{2/\gamma})$.

3. Gestion des domaines extérieurs en rotation :
   Ce travail étend la théorie des inégalités d'énergie relative au cas spécifique d'un domaine extérieur avec une frontière tournante. Cela nécessite un traitement minutieux des termes de la force de Coriolis et la construction de fonctions tests appropriées qui respectent la rotation et le comportement à l'infini.

Signification et portée
L'article revendique une importance particulière en fournissant un cadre mathématique rigoureux pour analyser les écoulements compressibles autour de corps en rotation, un scénario pertinent pour diverses applications d'ingénierie mais mathématiquement complexe en raison du domaine non borné et du couplage de la rotation avec la compressibilité.

• Unicité : Il résout la question de l'unicité dans le sens « faible-fort » pour cette configuration spécifique, une propriété qui reste une question ouverte pour les solutions faibles générales en l'absence d'une solution forte.
• Passage à la limite : Il justifie l'utilisation de modèles incompressibles pour les écoulements en rotation à basse vitesse en prouvant la convergence du modèle compressible, incluant des estimations d'erreur quantitatives.
• Généralité : Les résultats sont dérivés pour une loi de pression générale satisfaisant les conditions physiques standards et pour une gamme d'exposants adiabatiques $\gamma > 6/5$, rendant les résultats applicables à une large classe de fluides physiques.

Les auteurs notent explicitement que leur analyse repose sur des données initiales « bien préparées » pour éviter la génération d'ondes acoustiques, ce qui distingue leur approche des études impliquant des données initiales générales ou des limites supplémentaires (telles que les limites de faible nombre de Froude). Le travail s'appuie sur et généralise les résultats existants pour les domaines bornés et les corps stationnaires, en adaptant la méthode de l'énergie relative aux complexités des domaines extérieurs en rotation.