A Pohozaev-type neck proof of a conditional Harnack inequality in the critical $p$-Laplacian setting

Résumé Technique : Une preuve de type Pohozaev-Neck d'une inégalité de Harnack conditionnelle dans le cadre du $p$-Laplacien critique

Énoncé du Problème
L'article traite de la régularité et du comportement quantitatif des solutions faibles positives de l'équation quasilinéaire critique :
$$-\Delta_p u = g(u) \quad \text{dans } \Omega \subset \mathbb{R}^n,$$
où $1 < p < n$, $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ est le $p$-Laplacien, et la non-linéarité $g$ satisfait des conditions de croissance de Sobolev critiques (spécifiquement $g(s) \sim s^{p^*-1}$ quand $s \to \infty$, où $p^* = \frac{np}{n-p}$).

L'objectif central est d'établir une inégalité de Harnack de la forme :
$$\left(\sup_{B_R} u\right) \left(\inf_{B_{2R}} u\right)^{p-1} \leq C R^{p-n},$$
ce qui fournit une description ponctuelle des solutions singulières et sous-tend l'analyse de blow-up (explosion).

Contexte Méthodologique et Obstacles
Dans le cas semi-linéaire ($p=2$), de telles inégalités ont été établies par Schoen et plus tard étendues par Li et Zhang en utilisant la méthode de la sphère mobile (ou du plan mobile). Cette méthode repose largement sur la transformation de Kelvin, qui exploite l'invariance conforme du Laplacien.

Cependant, pour $p \neq 2$, le $p$-Laplacien n'est pas conformement invariant, rendant la transformation de Kelvin et la méthode associée des sphères mobiles indisponibles. Cette absence constitue un véritable obstacle à l'extension des résultats classiques de classification et de Harnack au cadre général du $p$-Laplacien critique.

Méthodologie : L'argument Pohozaev-Neck
Pour surmonter l'absence d'invariance conforme, les auteurs développent un argument Pohozaev-neck. Cette approche remplace les techniques de réflexion géométrique du cas $p=2$ par un argument analytique basé sur l'identité de Pohozaev et la structure des singularités isolées. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

1. Condition de signe structurelle : Sous l'hypothèse que $s \mapsto s^{-(p^*-1)}g(s)$ est décroissante, les auteurs établissent que le fonctionnel de Pohozaev est non négatif sur les boules pour les solutions régulières.
2. Analyse de la singularité : Ils utilisent le théorème du pôle de Kichenassamy–Véron pour analyser le comportement des solutions près des singularités isolées. Ils démontrent que si une solution possède une « partie régulière » (un terme constant non nul $\beta$) dans son développement asymptotique $u(x) \sim \kappa|x|^{-\alpha} + \beta$, le fonctionnel de Pohozaev à la singularité devient strictement négatif.
3. Le Lemme du Neck (Lemme 3.7) : C'est la contribution technique centrale. Le lemme suppose un taux de décroissance singulière « préliminaire » (spécifiquement $|x|^{-(n-p)/p}$) sur une région de neck normalisée. En rescalant la solution vers une échelle de « neck », les auteurs construisent un profil limite.
   • Si la décroissance était plus lente que le taux optimal, le profil limite posséderait une partie régulière positive ($\beta > 0$).
   • Cela impliquerait une valeur de Pohozaev négative pour la limite.
   • Cependant, la condition de signe de Pohozaev héritée de l'équation originale (via la monotonie de $g$) exige que la valeur soit non négative.
   • Cette contradiction force la partie régulière à s'annuler, augmentant ainsi le taux de décroissance préliminaire vers le taux fondamental $p$-harmonique optimal $|x|^{-(n-p)/(p-1)}$.

Hypothèses Clés (Nature Conditionnelle)
Le résultat principal est conditionnel, reposant sur deux hypothèses explicites :

1. Hypothèse de Classification Entière : Toute solution faible positive entière et bornée de l'équation limite $-\Delta_p V = g_A(V)$ dans $\mathbb{R}^n$ (où $g_A$ représente la limite de blow-up de la non-linéarité) doit être une bulle d'Aubin–Talenti.
2. Contrôle Préliminaire du Neck : Il existe une borne supérieure préliminaire sur les solutions de neck normalisées de la forme $v_j(y) \leq C|y|^{-(n-p)/p}$.

Résultats Principaux

• Théorème 1.3 (Inégalité de Harnack) : Sous les hypothèses structurelles sur $g$ (Hypothèse 1.1) et les deux hypothèses ci-dessus (Hypothèse 1.2), l'inégalité de Harnack conditionnelle est vérifiée pour toute solution faible positive dans $B_{3R}$.
• Amélioration du Taux de Décroissance : L'article prouve que l'argument Pohozaev-neck parvient à élever le taux de décroissance singulière préliminaire $|x|^{-(n-p)/p}$ vers le taux optimal $|x|^{-(n-p)/(p-1)}$, nécessaire pour l'estimation $\sup \times \inf$.
• Cas Inconditionnels : Les auteurs notent que dans le cas de la puissance pure $g(s) = L s^{p^*-1}$, l'hypothèse de classification est connue pour des plages spécifiques de $n$ et $p$ (par exemple $n \leq 6$ ou $n \geq 7$ avec $p > n/3$), rendant le théorème inconditionnel dans ces régimes. De plus, si une borne d'énergie critique invariante d'échelle est supposée, la classification et le contrôle préliminaire découlent de la théorie existante de l'énergie finie, rendant le résultat inconditionnel dans ce cadre.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir la première preuve d'une inégalité de Harnack conditionnelle pour le $p$-Laplacien critique ($p \neq 2$) qui ne repose pas sur l'invariance conforme.

• Changement Méthodologique : Il introduit un « lemme de neck » basé sur Pohozaev comme une alternative viable à la transformation de Kelvin pour analyser les phénomènes de bubbling dans des cadres non invariants par confluence.
• Combler le Fossé : Le travail relie l'analyse locale du blow-up (comportement du neck) aux résultats de classification globale. Il cadre explicitement la difficulté du cas général par l'existence potentielle de solutions entières bornées qui ne sont pas des bulles d'Aubin–Talenti (limites d'énergie infinie), un scénario exclu par l'hypothèse conditionnelle.
• Limites : Les auteurs font preuve de modestie quant à la portée de leur travail, reconnaissant que sans l'hypothèse de classification (ou une borne d'énergie), l'existence de solutions entières non-bulles demeure un obstacle ouvert. Le résultat est présenté comme une étape conditionnelle vers l'avant, dépendante de la validité de la classification des limites entières.

Conclusion
L'article établit un cadre robuste pour analyser les équations du $p$-Laplacien critique en remplaant les méthodes géométriques conformes par des identités de Pohozaev analytiques. Il dérive avec succès une inégalité de Harnack optimale sous l'hypothèse que la classification des solutions entières se comporte de manière similaire au cas semi-linéaire, isolant ainsi le problème de la classification comme le seul obstacle restant pour un résultat pleinement inconditionnel.