On Brezis Open Problem 3.1

Résumé Technique : Unicité des applications harmoniques faibles avec trace de cercle de latitude

Énoncé du Problème
Cet article traite d'une question ouverte de longue date concernant l'unicité des applications harmoniques faibles du disque unité $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ vers la sphère unité $S^2$. Plus précisément, il considère le problème de Dirichlet pour l'équation de l'application harmonique :
$$-\Delta u = |\nabla u|^2 u \quad \text{dans } B_1, \quad u|_{\partial B_1} = g_R,$$
où la trace de bord $g_R(e^{i\theta}) = (R \cos \theta, R \sin \theta, \sqrt{1-R^2})$ décrit un cercle de latitude parcouru une fois à vitesse constante, avec $0 < R < 1$.

En 1983, Brézis et Coron ont établi l'existence de deux solutions explicites, $u_+$ et $u_-$, correspondant aux remplissages conformes et anti-conformes des calottes sphériques définies par la trace de bord. Ils ont prouvé que ces applications sont les uniques minimiseurs d'énergie dans leurs classes d'homotopie relatives respectives (de degrés $\pm 1$). Cependant, la question demeurait de savoir si des points critiques non minimisants (points de selle) pouvaient exister pour les mêmes données de bord. Cela a été formellement posé comme le Problème Ouvert 3.1 dans la liste de « Problèmes Ouverts Favoris » de Brézis. L'article vise à déterminer si les deux applications de Brézis–Coron épuisent l'ensemble des applications harmoniques faibles avec cette trace spécifique.

Méthodologie
Les auteurs emploient un argument de « rigidité de bord » qui combine l'analyse géométrique, l'analyse complexe et les inégalités variationnelles. La preuve se déroule en deux étapes principales :

1. Rigidité de Bord via des Potentiels Auxiliaires et des Inégalités Isopérimétriques :

   • Potentiel Auxiliaire : Associé à l'application harmonique $u$, les auteurs définissent un potentiel global $X: B_1 \to \mathbb{R}^3$ satisfaisant $X_x = -u \times u_y$ et $X_y = u \times u_x$. Cette construction est ancrée dans la correspondance de la Gauss et de la courbure moyenne constante (CMC).
   • Courbe Projetée et Aire Algébrique : Ils analysent la courbe de bord $\Gamma = X|_{\partial B_1}$ et sa projection orthogonale $\gamma$ sur le plan horizontal $x_3=0$. En utilisant une identité de projection-Jacobien, ils prouvent que l'aire signée (algébrique) délimitée par $\gamma$ est exactement $\pi R^2$.
   • Identité de Pohozaev et Bornes de Longueur : L'identité de Pohozaev pour le différentiel de Hopf fournit une borne intégrale exacte sur la longueur de $\Gamma$. Spécifiquement, $\int_0^{2\pi} |u_r(1, \theta)|^2 d\theta = 2\pi R^2$.
   • Saturation Isopérimétrique : En appliquant l'inégalité isopérimétrique planaire à la courbe projetée $\gamma$ (reliant sa longueur à son aire algébrique) et en la comparant avec la longueur de $\Gamma$, les auteurs établissent une chaîne d'inégalités :
     $$4\pi^2 R^2 \leq L_h^2 \leq L^2 \leq 4\pi^2 R^2.$$
     Puisque la borne inférieure (issue de l'aire algébrique exacte) et la borne supérieure (issue de l'identité de Pohozaev) coïncident, toutes les inégalités doivent être des égalités. Cette « saturation » impose des identités ponctuelles sur le bord : $|u_r| \equiv R$ et $u_r \cdot u_\theta \equiv 0$.

2. Classification Conforme :

   • Annulation du Différentiel de Hopf : Les identités de bord dérivées ci-dessus impliquent que le différentiel de Hopf $q(z) = u_z \cdot u_z$ s'annule sur $\partial B_1$. Puisque $q$ est holomorphe dans $B_1$, le principe du module maximum force $q \equiv 0$ dans tout le disque. Ainsi, l'application est faiblement conforme.
   • Projection Stéréographique et Série de Laurent : En utilisant la projection stéréographique par le pôle sud, l'application est représentée par une fonction à valeurs complexes $w$ sur un collier de bord. L'annulation du différentiel de Hopf implique que $w$ est soit holomorphe, soit anti-holomorphe.
   • Unicité sur le Collier : Étant donné la dérivée de bord non nulle et la trace spécifique $w(e^{i\theta}) = \rho e^{i\theta}$, une expansion en série de Laurent montre que $w$ doit être soit $\rho z$ (holomorphe), soit $\rho/\bar{z}$ (anti-holomorphe).
   • Extension Globale : Par la réalité analytique des solutions du système elliptique, l'identification sur le collier s'étend à l'ensemble du disque, produisant exactement les deux solutions de Brézis–Coron.

Contributions Clés et Résultats

• Résolution du Problème Ouvert 3.1 : L'article prouve le Théorème 1.1, stipulant que pour $0 < R < 1$, les seules applications harmoniques faibles dans $H^1(B_1; S^2)$ avec la trace $g_R$ sont les deux applications explicites de Brézis–Coron $u_+$ et $u_-$. Cela répond définitivement à la question en excluant l'existence de tout point critique non minimisant.
• Mécanisme de Rigidité de Bord : Les auteurs introduisent un nouvel argument de rigidité qui convertit l'aire algébrique exacte d'une courbe de potentiel projetée en l'annulation du différentiel de Hopf. Ce mécanisme isole une caractéristique géométrique de la trace de latitude « un tour » qui est invisible aux méthodes classiques de classification variationnelle.
• Application aux Systèmes H : L'article dérive le Corollaire 1.2, appliquant le résultat d'unicité à deux dimensions pour les systèmes $H$ (immersions conformes avec courbure moyenne constante), classifiant les immersions conformes $Y: B_1 \to \mathbb{R}^3$ avec des traces de normale unitaire, montrant qu'elles doivent être des translations rigides des disques modèles $Z_+$ ou $Z_-$.
• Analyse des Limites : Les auteurs analysent les limites $R \to 1$ (équateur) et $R \to 0$ (pôle). Ils montrent que le résultat tient pour $R=1$ (non dégénéré), tandis que $R=0$ représente un cas dégénéré où le bord s'effondre en un point, ne produisant que l'application constante.

Signification
L'article apporte une réponse affirmative définitive au Problème Ouvert 3.1 de Brézis. Sa signification réside dans le fait de démontrer que pour le cas spécifique d'un cercle de latitude parcouru une seule fois, le phénomène de « multiplicité » observé pour des données de bord à winding plus élevé ou plus générales, ne se produit pas. La preuve établit que les deux remplissages naturels, conforme et anti-conforme, épuisent tous les points critiques, et pas seulement les minimiseurs.

Ce travail met en lumière une rigidité géométrique particulière inhérente à la trace d'un seul tour, pilotée par l'interaction entre l'identité de Pohozaev, le différentiel de Hopf et l'inégalité isopérimétrique planaire stricte. Cette approche offre une nouvelle perspective sur les problèmes d'unicité dans la théorie des applications harmoniques, distinguant les cas où les méthodes variationnelles seules sont insuffisantes de ceux où la rigidité géométrique force l'unicité. Les auteurs notent que ce mécanisme s'effondre pour des nombres de winding plus élevés ($m \geq 2$), où plusieurs points critiques sont attendus, clarifiant ainsi les frontières topologiques et géométriques de l'unicité dans ce domaine.