Real algebraic varieties and their intersection cohomology

Résumé Technique : Variétés Algébriques Réelles et leur Cohomologie d'Intersection

Énoncé du Problème
L'article traite d'une question fondamentale posée par Goresky et MacPherson concernant l'existence de groupes de cohomologie d'intersection pour les variétés algébriques réelles. Dans le cadre complexe, pour une variété singulière $Y$, les groupes de cohomologie d'intersection $IH^*(Y(\mathbb{C}), k)$ fournissent une théorie de l'auto-dualité de Poincaré qui factorise le produit cup avec la classe fondamentale. Ils apparaissent intrinsèquement comme l'unique faisceau pervers auto-dual de Verdier étendant le faisceau constant sur la partie lisse, et extrinsèquement comme un sommet direct du pushforward du faisceau constant sous toute résolution de singularités (via le Théorème de Décomposition).

Pour les variétés réelles $Y$, le produit cup avec la classe fondamentale dans $H^*(Y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2)$ n'induit généralement pas un isomorphisme, et aucune famille canonique de groupes de « cohomologie d'intersection » n'existait auparavant satisfaisant des propriétés analogues de dualité et de factorisation. Les constructions précédentes de McCrory-Parusiński et van Hamel ont offert des solutions, mais celles-ci différaient significativement dans leurs approches géométriques ou équivariantes, manquant parfois de propriétés de finitude ou de couplage parfait. Cet article cherche à construire un analogue réel qui se comporte comme la cohomologie d'intersection, en utilisant spécifiquement des coefficients $\mathbb{F}_2$.

Méthodologie
L'auteur adopte une approche extrinsèque, construisant l'objet souhaité comme un sommet direct spécifique au sein du pushforward dérivé du faisceau constant le long d'une résolution de singularités. La méthodologie repose sur le formalisme des faisceaux constructibles sur les variétés algébriques réelles avec des coefficients $\mathbb{F}_2$.

Étapes techniques clés :

1. Décomposition de Krull-Schmidt : L'article utilise le fait que la catégorie dérivée des faisceaux constructibles $D^b_c(Y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2)$ est de type Krull-Schmidt. Cela garantit que le pushforward $Rf_* \mathbb{1}_{X(\mathbb{R})}$ pour toute résolution $f: X \to Y$ se décompose de manière unique en une somme directe finie d'objets indécomposables.
2. Scindement des applications birationnelles : Un lemme crucial établit que pour une application birationnelle propre $g: W \to X$ entre variétés réelles lisses, l'application canonique $\mathbb{1}_{X(\mathbb{R})} \to Rg_* \mathbb{1}_{W(\mathbb{R})}$ est un monomorphisme scindé. Ce scindement est induit par la compatibilité des classes fondamentales sous pushforward.
3. Indépendance de la résolution : En montrant que deux résolutions sont dominées par une troisième, et en utilisant la propriété de scindement, l'auteur prouve que le sommet « dense » du pushforward (la partie étendant le faisceau constant sur la partie lisse) est indépendant du choix de la résolution.
4. Variante Motivique : Une construction secondaire, $E_{num}(Y_R)$, est définie en utilisant l'image de la classe de cycle réelle des groupes de Chow vers l'homologie de Borel-Moore. Cette variante est conçue pour être local au sens de Zariski, une propriété qui n'est pas immédiatement évidente pour la construction primaire.

Contributions Clés et Résultats

• Construction de l'Extension Géométrique Réelle ($E(Y_R)$) :
  L'article définit un complexe de faisceaux $E(Y_R)$ sur $Y(\mathbb{R})$, appelé l'extension géométrique réelle. Il est caractérisé comme l'unique sommet direct de $Rf_* \mathbb{1}_{X(\mathbb{R})}$ (pour toute résolution $f$) qui étend le faisceau constant sur la partie lisse $Y^{sm}(\mathbb{R})$ et qui n'a pas de sommet direct propre possédant cette propriété.

• Dualité de Poincaré et Auto-dualité :
  Le complexe $E(Y_R)$ est montré être auto-dual de Verdier à un décalage près par la dimension $d$ de la variété ($DE(Y_R) \cong E(Y_R)[d]$). Par conséquent, les groupes d'hypercohomologie $E^i(Y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2)$ satisfont un isomorphisme de dualité de Poincaré :
  $$E^i(Y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2) \cong E^{d-i}(Y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2)^\vee$$
  Cette dualité est induite par un choix d'isomorphisme dans la catégorie dérivée, lequel est non canonique même sur $\mathbb{F}_2$.

• Factorisation et Bornes Inférieures :
  La construction fournit des applications de comparaison canoniques $\gamma^i: H^i(Y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2) \to E^i(Y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2)$ qui factorisent le produit cup avec la classe fondamentale. De plus, les tiges de $E(Y_R)$ fournissent des bornes inférieures pour les nombres de Betti des fibres dans toute résolution de singularités :
  $$\dim H^i(i_y^* E(Y_R)) \leq \dim H^i(F_y(\mathbb{R}), \mathbb{F}_2)$$

• Descriptions Explicites dans des Cas Particuliers :

  • Résolutions Petites (Small Resolutions) : Si $Y$ admet une résolution petite $f: X \to Y$, alors $E(Y_R) \cong Rf_* \mathbb{1}_{X(\mathbb{R})}$.
  • Singularités Isolées : Pour les variétés avec singularités isolées satisfaisant des conditions topologiques spécifiques sur le diviseur exceptionnel (par exemple, un fibré normal trivial), $E(Y_R)$ est identifié au pushforward du faisceau constant depuis le blowup.
  • Variétés de Schubert : Sur les variétés de drapeaux réels, la catégorie des extensions géométriques réelles est montrée être équivalente à la catégorie des faisceaux de parité paire sur la variété de drapeau complexe correspondante. Cette équivalence double les degrés : $E^i(X(w)(\mathbb{R})) \cong H^{2i}(E(X(w)(\mathbb{C})))$.

• Variante Motivique ($E_{num}$) :
  L'article introduit $E_{num}(Y_R)$, une variante définie via la classe de cycle réelle. Cet objet est local au sens de Zariski (sa restriction à un ouvert est l'extension sur cet ouvert) et partage les propriétés de dualité et de finitude de $E(Y_R)$. L'article note que bien que $E_{num}$ possède de meilleures propriétés formelles, elle est moins explicite à calculer, et il est actuellement inconnu si $E(Y_R)$ et $E_{num}(Y_R)$ diffèrent dans un cas quelconque.

Signification et Revendications
L'article prétend apporter une solution à la question de Goresky-MacPherson en construisant une famille d'espaces vectoriels sur $\mathbb{F}_2$ pour les variétés réelles qui se comportent comme la cohomologie d'intersection. La signification réside dans :

1. Définition Extrinsèque : Contrairement à la définition intrinsèque de la cohomologie d'intersection complexe (via les bornes de perversité), cette construction est purement extrinsèque, définie via des résolutions. Ceci est rendu nécessaire par l'absence d'une t-structure de perversité dans le cadre réel et par le fait que les extensions géométriques réelles ne satisfont pas les bornes de perversité.
2. Lien avec les Faisceaux de Parité : L'équivalence entre les extensions géométques réelles sur les variétés de Schubert et les faisceaux de parité paire sur les variétés complexes suggère un lien structurel profond entre la géométrie algébrique réelle et la théorie des représentations des groupes complexes.
3. Complément aux Travaux Existants : L'auteur positionne ce travail comme une généralisation naturelle des extensions géométriques et des faisceaux de parité au cadre réel, complétant l'approche géométrique de McCrory-Parusiński et l'approche équivariante de van Hamel.

L'article reste modeste quant à l'unicité de l'isomorphisme de dualité (notant qu'il s'agit d'un choix) et quant à la différence potentielle entre la construction primaire et la variante motivique. Il stipule explicitement que la construction dépend de la structure de la variété, et non seulement de sa topologie sous-jacente, comme le démontrent des exemples de variétés non isomorphes possédant des ensembles de points réels homéomorphes.