On superspecial hyperelliptic curves of Rosenhain forms

Résumé technique : Énumération des courbes hyperelliptiques superspéciales sous forme de Rosenhain

Énoncé du problème
L'article traite du problème fondamental consistant à déterminer le nombre de classes d'isomorphisme de courbes hyperelliptiques de genre-$g$ superspéciales dans une caractéristique $p$ donnée. Si le cas pour le genre $g \le 3$ est largement résolu, et que l'existence de telles courbes pour $g \ge 4$ reste ouverte de manière générale, les décomptes spécifiques pour des genres plus élevés dans de petites caractéristiques ont été limités. Les travaux précédents de Kudo et Harashita ont utilisé des calculs de bases de Gröbner pour résoudre ce problème pour le genre 4 dans des caractéristiques allant jusqu'à 19. Cet article vise à étendre ces résultats aux genres 4, 5 et 6 pour des caractéristiques $p$ dépassant les plages précédemment couvertes, spécifiquement jusqu'à $p=41$.

Méthodologie
Les auteurs proposent un nouvel algorithme (Algorithme 3.1) pour énumérer ces courbes, qui repose sur une condition nécessaire spécifique dérivée pour les courbes sous forme de Rosenhain.

1. Forme de Rosenhain et conditions nécessaires :
   L'article se concentre sur les courbes hyperelliptiques définies par l'équation de Rosenhain :
   $$C: y^2 = x(x-1) \prod_{i=1}^{2g-1} (x - \lambda_i)$$
   La contribution théorique centrale est le Théorème 1.3, qui établit une condition nécessaire pour qu'une telle courbe soit superspéciale dans une caractéristique $p > 2$. Le théorème stipule que si $C$ est superspéciale, alors pour tous $i, j \in \{1, \dots, 2g-1\}$, les éléments $\lambda_i$, $1-\lambda_i$ et $\lambda_i - \lambda_j$ doivent être des carrés dans le corps fini $\mathbb{F}_{p^2}$.

• Stratégie de preuve : La preuve utilise les propriétés du Jacobien $J$ de la courbe. Elle démontre que pour une courbe superspéciale, le sous-groupe de 4-torsion $J[4]$ est défini sur $\mathbb{F}_{p^2}$. En analysant les représentations de Mumford des points de 4-torsion et de leurs demi-points, les auteurs montrent que des rapports croisés spécifiques des points de branchement doivent être des carrés dans $\mathbb{F}_{p^2}$.

2. Algorithme d'énumération :
   Basé sur le Théorème 1.3, l'algorithme procède comme suit :

• Filtrage : Il construit un ensemble $S \subset \mathbb{F}_{p^2}$ contenant les éléments $\lambda$ tels que $\lambda$ et $1-\lambda$ sont tous deux des carrés.
• Génération de candidats : Il sélectionne récursivement des ensembles distincts $\{\lambda_1, \dots, \lambda_{2g-1}\} \subset S$ tels que la différence $\lambda_i - \lambda_j$ est également un carré pour toutes les paires.
• Gestion de l'isomorphisme : Pour éviter de compter plusieurs fois des courbes isomorphes, l'algorithme génère toutes les formes de Rosenhain équivalentes à un ensemble candidat sous l'action du groupe symétrique (via des transformations de Möbius permutant les points de branchement $\{0, 1, \infty, \lambda_1, \dots, \lambda_{2g-1}\}$) et stocke des représentants canoniques.
• Vérification de la superspécialité : Pour chaque ensemble de candidats valides, l'algorithme calcule la matrice de Cartier-Manin de la courbe. La courbe est superspéciale si et seulement si cette matrice est la matrice nulle. Cela implique de vérifier si certains coefficients de l'expansion de $f(x)^{(p-1)/2}$ s'annulent.

Contributions clés et résultats
La principale contribution est l'application réussie de cet algorithme pour calculer le nombre exact de classes d'isomorphisme pour les genres 4, 5 et 6 dans diverses petites caractéristiques, comblant ainsi les lacunes de la littérature existante. Les résultats sont résumés comme suit :

• Genre 4 : L'article détermine les décomptes pour les caractéristiques $p \in \{23, 29, 31, 37, 41\}$.

  • $p=23$ : 4 classes
  • $p=29$ : 8 classes
  • $p=31$ : 10 classes
  • $p=37$ : 23 classes
  • $p=41$ : 34 classes
  • Note : Les résultats pour $p \le 19$ correspondent aux découvertes antérieures de Kudo et Harashita.

• Genre 5 : L'article détermine les décomptes pour les caractéristiques $p \in \{13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41\}$.

  • Aucune courbe n'existe pour $p=13, 17$.
  • $p=19, 29$ : 1 classe chacune.
  • $p=23$ : 2 classes.
  • $p=31$ : 6 classes.
  • $p=37$ : 5 classes.
  • $p=41$ : 3 classes.

• Genre 6 : L'article détermine les décomptes pour les caractéristiques $p \in \{17, 19, 23, 29, 31\}$.

  • Aucune courbe n'existe pour $p=17, 19, 29$.
  • $p=23, 31$ : 1 classe chacune.

Signification et affirmations
L'article affirme que son approche offre un avantage distinct par rapport aux méthodes précédentes (spécifiquement celles utilisant les bases de Gröbner) en évitant les calculs symboliques complexes. Au lieu de cela, elle exploite les propriétés arithmétiques des paramètres de Rosenhain pour filtrer efficacement les candidats. Les auteurs déclarent que pour de petites caractéristiques, le nombre d'ensembles de candidats satisfaisant les conditions de carré est suffisamment petit pour rendre l'algorithme numériquement faisable.

En implémentant cet algorithme dans Magma, les auteurs ont réussi à étendre la classification connue des courbes hyperelliptiques superspéciales à des genres plus élevés et à des caractéristiques plus grandes que ce qui avait été documenté précédemment. L'article note explicitement que pour les genres $g \in \{5, 6\}$, le nombre de classes d'isomorphisme n'avait été déterminé pour aucune caractéristique $p > 2g+1$ avant ce travail. Les résultats fournissent des points de données concrets pour le problème fondamental de l'énumération des courbes superspéciales, ce qui est pertinent pour les applications en cryptographie basée sur les isogénies et en codes géométriques algébriques.