Boundary value problems for some quasilinear parabolic equations under minimal conditions on the coefficients

Résumé technique : Problèmes de valeurs aux limites pour les équations paraboliques quasilinéaires sous des conditions minimales

Énoncé du problème
L'article étudie les problèmes de valeurs aux limites pour une classe d'équations paraboliques quasilinéaires de la forme :
$$Mu = u_t - \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}(a_{ij}(t, x, u)u_{x_j}) + b(t, x, u, \nabla u) = 0$$
définie sur un cylindre $Q = (0, T) \times G$, où $G \subset \mathbb{R}^n$ est un domaine borné. L'étude traite de deux scénarios principaux de conditions aux limites :

1. Conditions de Dirichlet : $u|_{t=0} = u_0$ et $u|_S = g(t, x)$, où $S = (0, T) \times \Gamma$.
2. Conditions de Robin (obliques) : $u|_{t=0} = u_0$ et $\frac{\partial u}{\partial N} + \psi(t, x, u)|_S = 0$, où $\frac{\partial u}{\partial N}$ est la dérivée conormale.

L'objectif central est d'établir des théorèmes d'existence et d'unicité pour les solutions dans l'espace de Sobolev $W^{1,2}_p(Q)$ sous des conditions de régularité minimales sur les coefficients $a_{ij}$, le terme d'ordre inférieur $b$, et la fonction de bord $\psi$. Cela contraste avec la littérature existante (par exemple, les monographies [1], [2]) qui exigent souvent la continuité de Hölder ou des hypothèses de régularité plus fortes sur les coefficients.

Méthodologie
La stratégie de preuve combine plusieurs techniques analytiques avancées :

• Estimations a priori : Les auteurs dérivent des bornes précises pour les solutions.
  • Principe du maximum : Un principe du maximum est établi pour borner la norme $L^\infty$ de la solution. Contrairement aux approches précédentes dans les espaces de Hölder, les auteurs utilisent une méthode différente pour traiter les solutions généralisées, particulièrement pour la condition aux limites de Robin (3).
  • Continuité de Hölder : L'approche de [1] est adaptée pour prouver que les solutions sont continues au sens de Hölder, ce qui est un prérequis pour traiter la non-linéarité des coefficients.
  • Coefficients gelés : Pour obtenir des estimations $W^{1,2}_p$, la méthode des « coefficients gelés » est employée. Le problème non linéaire est localement approximé par des problèmes linéaires avec des coefficients constants (gelés), permettant l'utilisation des estimations de la théorie linéaire.
• Continuation en un paramètre : L'existence est prouvée en utilisant la méthode de continuation en un paramètre $\gamma \in [0, 1]$. Le problème est déformé d'une équation de la chaleur linéaire ($\gamma=0$) vers l'équation quasilinéaire complète ($\gamma=1$).
• Théorie des points fixes : La résolubilité du problème déformé est réduite à la recherche d'un point fixe d'un opérateur continu compact. La compacité repose sur les théorèmes d'injection des espaces de Sobolev dans les espaces de Hölder.
• Analyse de l'unicité : L'unicité est démontrée en analysant la différence entre deux solutions potentielles, en utilisant des conditions de croissance et de type Lipschitz spécifiques sur la fonction $b$ et le terme de bord $\psi$.

Contributions clés et résultats
L'article fournit des théorèmes établissant les points suivants :

1. Existence et unicité dans $W^{1,2}_p(Q)$ :

   • Le Théorème 7 prouve l'existence d'une solution unique $u \in W^{1,2}_p(Q)$ pour les problèmes de Dirichlet et de Robin, à condition que $p > (n+2)/2$.
   • Les conditions sur les données sont minimales :
     • Les coefficients $a_{ij}$ sont continus en toutes variables et satisfont l'ellipticité uniforme.
     • Les dérivées $a_{ij, x_i}$ et $a_{ij, u}$ satisfont des conditions spécifiques d'intégrabilité et de continuité (par exemple, $a_{ij, x_i} \in L^{q_3}(Q; C([-R, R]))$).
     • La fonction $b$ satisfait les conditions de Carathéodory et des bornes de croissance spécifiques (quadratiques en $\nabla u$).
     • Pour la condition de Robin, $\psi$ et ses dérivées satisfont des conditions de continuité de Sobolev analogues.
   • Des conditions de cohérence à $t=0$ (correspondance entre les données initiales et les données aux limites) sont requises, particulièrement pour $p > 3$ dans le cas de Robin.

2. Bornes a priori :

   • Les Théorèmes 3 et 4 établissent des bornes $L^\infty$ pour les solutions dépendant des normes des données et de la constante d'ellipticité $\delta_0$.
   • Le Théorème 5 établit la continuité de Hölder ($C^{\alpha_1, 2\alpha_1}$) de la solution, ce qui est crucial pour l'argument du point fixe.
   • Le Théorème 6 fournit l'estimation cruciale $W^{1,2}_p$, montrant que la norme de la solution est bornée par les normes des données initiales et de bord, indépendamment de la solution elle-même.

3. Résolubilité locale :

   • Le Théorème 8 traite de la résolubilité locale pour une classe plus large de données où une régularité globale pourrait ne pas être présente initialement. Il prouve que si les données initiales $u_0$ et leur gradient sont bornés, une solution existe localement dans le temps ($Q_{\tau_0}$) même si les coefficients $a_{ij}$ et $b$ ne sont définis/continus que dans un voisinage de la plage des données initiales.

4. Conditions d'unicité :

   • Des conditions distinctes sont fournies pour l'unicité selon la valeur de $p$ :
     • Pour $p > n+2$, des conditions de Lipschitz standards sur $b$ par rapport à $u$ et $\nabla u$ (pondérées par des fonctions $L^q$) suffisent.
     • Pour $(n+2)/2 < p \le n+2$, des conditions plus faibles impliquant une croissance polynomiale en $\nabla u$ sont suffisantes, à condition que les coefficients $g_1, g_2$ appartiennent à des espaces $L^q$ spécifiques.

Signification et revendications
L'article prétend exposer des « conditions sharp » (précises) sur les données qui sont « loin d'être optimales » dans les travaux précédents (référence faite spécifiquement aux exigences d'espaces de Hölder de [1] et [2]). En travaillant dans les espaces de Sobolev $W^{1,2}_p(Q)$ avec $p > (n+2)/2$, les auteurs permettent des coefficients qui sont simplement continus (ou possèdent des dérivées généralisées dans des espaces $L^q$ spécifiques) plutôt que d'exiger une continuité $C^k$ ou de Hölder.

Les auteurs soulignent que leur approche des estimations de maximum permet le traitement des solutions généralisées sous les conditions de Robin, un cas où les méthodes précédentes de [1] et [2] étaient insuffisantes. Les résultats sont destinés à faciliter :

• L'analyse de résolubilité pour les problèmes paraboliques inverses.
• Les preuves d'existence et d'unicité sous perturbations.
• Le développement de méthodes d'approximation constructives via des techniques itératives.

Ce travail est soutenu par la Fondation scientifique russe et le Gouvernement du Okroug autonome de Khanty-Mansisk-Yougra.