On the Moser trick for Lie subalgebras and foliations

Résumé Technique : Sur l'astuce de Moser pour les sous-algèbres de Lie et les feuilletages

Énoncé du Problème
L'article traite du problème de la caractérisation de la trivialité lisse des déformations dans le contexte des algebroïdes de Lie. Il se concentre spécifiquement sur deux cas limites des algebroïdes de Lie : les sous-algèbres de Lie et les feuilletages. Bien que la théorie des déformations pour les algebroïdes de Lie ait été établie (notamment par Crainic et Moerdijk), l'auteur cherche à fournir des preuves directes et autonomes pour ces cas particuliers. La question centrale est d'établir les conditions nécessaires et suffisantes selon lesquelles une déformation lisse d'une sous-algèbre de Lie ou d'un feuilletage est « triviale » (c'est-à-dire équivalente à la déformation constante via une famille lisse d'automorphismes ou de difféomorphismes). Une motivation particulière est d'étendre ces résultats aux sous-algebroïdes de Lie généraux où le quasi-isomorphisme entre différents complexes de déformation (qui est vrai pour les feuilletages) échoue généralement.

Méthodologie
L'auteur emploie une approche de la théorie des déformations ancrée dans le complexe de Chevalley-Eilenberg et l'« astuce de Moser » (une méthode impliquant des champs de vecteurs dépendants du temps et des flux pour construire des équivalences).

1. Sous-algèbres de Lie et Idéaux (Section 2) :

   • L'auteur associe une famille de cocycles à une déformation lisse d'un morphisme d'algèbre de Lie, d'une sous-algèbre de Lie ou d'un idéal de Lie.
   • En différenciant les équations définissant ces structures par rapport au paramètre de déformation $t$, l'auteur dérive des conditions impliquant la dérivée temporelle des applications de déformation.
   • La technique centrale consiste à construire des champs de vecteurs dépendants du temps sur les groupes de Lie ou les espaces vectoriels concernés. L'existence d'une solution à une équation différentielle spécifique (impliquant le cocycle de déformation et un champ de vecteurs dépendant du temps) est montrée comme étant équivalente à la trivialité de la déformation.
   • Les preuves reposent sur l'existence locale de flux pour les champs de vecteurs dépendants du temps et sur l'unicité des courbes intégrales.

2. Feuilletages (Section 3) :

   • L'auteur traite un feuilletage comme une distribution involutive. Une déformation lisse est définie comme un feuilletage sur $M \times I$ tangent aux tranches.
   • L'auteur utilise le complexe de déformation des feuilletages, identifié avec $(\Omega^\bullet(\mathcal{F}; \nu(\mathcal{F})), d^\nabla)$, où $\nu(\mathcal{F})$ est le fibré normal et $\nabla$ est la connexion de Bott.
   • Un « cocycle de déformation » $\sigma_t$ est défini comme la dérivée temporelle de la projection sur le feuilletage.
   • L'astuce de Moser est mise en œuvre en construisant un champ de vecteurs dépendant du temps sur la variété produit $M \times I$. L'involutivité d'un sous-fibré spécifique $D$ (construit à partir du feuilletage total et du champ de vecteurs) est montrée comme étant équivalente à l'annulation du cocycle de déformation dans la cohomologie.

Contributions Clés et Résultats

• Sous-algèbres de Lie (Théorème 2.2) : L'article établit un critère cohomologique pour la trivialité d'une déformation lisse d'une sous-algèbre de Lie $(h, \iota) \subset g$. Il prouve qu'une déformation est $Aut(g)$-triviale si et seulement si la cochaîne associée $\pi_{can} \circ \dot{\iota}_t$ (la projection de la dérivée temporelle de l'application d'inclusion) s'annule dans la cohomologie du complexe de déformation $C^\bullet_{\iota_t}(h_t; g/\iota_t(h_t))$.
• Idéaux de Lie (Théorème 2.3) : Un critère analogue est dérivé pour la déformation d'un idéal de Lie au sein d'une suite exacte courte d'algèbres de Lie. La trivialité de la déformation est liée à l'annulation d'un cocycle spécifique dans le complexe $C^\bullet_{\pi_t}(g; Hom(h_t, k_t))$.
• Astuce de Moser pour les feuilletages (Théorème 3.7) : L'auteur fournit une preuve directe de l'astuce de Moser pour les feuilletages. Le résultat principal stipule qu'une déformation lisse $(F_t)_{t \in I}$ d'un feuilletage $F$ sur une variété compacte $M$ est triviale si et seulement si les cocycles de déformation $\sigma_t$ s'annulent de manière lisse en cohomologie (c'est-à-dire $[\sigma_t] = 0$ dans $H^1(F_t; \nu(F_t))$).
• Raffinement des Résultats Existants (Lemme 3.8) : L'article démontre qu'une déformation triviale produit toujours un cocycle de déformation exact, récupérant ainsi un résultat de Heitsch [10] mais sous des hypothèses plus faibles (en supprimant la nécessité d'un champ de vecteurs complet sur la variété ambiante).

Signification et Revendications
L'article prétend fournir une « preuve directe » de l'astuce de Moser pour les feuilletages qui repose uniquement sur le complexe de déformation du feuilletage considéré comme une distribution involutive, plutôt que de faire appel à la machinerie plus large de la théorie des déformations d'algebroïdes de Lie.

L'auteur note que, bien que la théorie des déformations des algebroïdes de Lie (Crainic-Moerdijk) implique le résultat pour les feuilletages via un quasi-isomorphisme, ce quasi-isomorphisme ne tient pas généralement pour les sous-algebroïdes de Lie arbitraires. Par conséquent, les techniques développées ici — spécifiquement les analogues infinitésimaux des astuces de Moser pour les sous-algèbres de Lie et les idéaux — sont destinées à servir de fondement pour étendre les résultats de trivialité aux sous-algebroïdes de Lie généraux, une tâche que l'auteur indique être l'objet d'un travail ultérieur [1].

Le travail est de portée modeste, se concentrant sur l'établissement des conditions cohomologiques nécessaires et suffisantes pour la trivialité dans ces contextes géométriques spécifiques, sans proposer de nouvelles applications expérimentales ou de théories physiques larges. Il sert de pont technique entre la théorie des déformations des algèbres de Lie et la théorie plus complexe des algebroïdes de Lie.