Profinite Borel completeness and smooth Artin motives

Résumé technique : Profinitude, complétude de Borel et motifs d'Artin lisses

Énoncé du problème
L'article traite de la relation entre deux cadres mathématiques distincts : l'$\infty$-catégorie des motifs d'Artin lisses sur un schéma de base général $S$ et la théorie des représentations du groupe fondamental étale $\pi_1^{\text{ét}}(S)$. Alors que Voevodsky a établi une équivalence entre les motifs d'Artin sur un corps $F$ et les modules de permutation dérivés du groupe de Galois absolu $\text{Gal}(F^{\text{sep}}/F)$, la question de savoir si cette équivalence s'étend aux schémas de base généraux $S$, où le groupe de Galois est remplacé par le groupe fondamental étale profinite $\pi_1^{\text{ét}}(S)$, est restée ouverte.

Un second problème, plus fondamental, surgit dans la théorie de l'homotopie équivariante des groupes profinis. Pour les groupes finis, la sous-catégorie des spectres de Borel complets est bien comprise comme une catégorie de foncteurs (via Mathew–Naumann–Noel) ; cependant, pour les groupes profinis, l'orbite $G/1$ n'est pas un $G$-ensemble fini, ce qui complique la généralisation directe de la complétude de Borel. L'article examine s'il existe plusieurs notions distinctes de « complétude de Borel » pour les groupes profinis et comment elles se rapportent à la théorie des faisceaux et des motifs.

Méthodologie
L'auteur emploie une approche à deux volets, développant d'abord la théorie de l'homotopie équivariante nécessaire, puis l'appliquant à la théorie des motifs.

1. Théorie de l'homotopie équvariante pour les groupes profinis :

   • Le papier revisite la description des spectres de Borel complets pour les groupes finis, en introduisant des coefficients dans un spectre de corps commutatif connectif $R$.
   • Pour un groupe profini $G = \lim_i G_i$, deux notions de complétude de Borel sont définies :
     • Complétude de Borel niveau par niveau ($Sp^{\text{lwBorel}}_G$) : Définie comme la limite des catégories de Borel complets des quotients finis $G_i$ selon les points fixes catégoriques.
     • Complétude de Borel ($Sp^{\text{Borel}}_G$) : Définie via la complétude par rapport à un objet algébrique spécifique $A$, construit comme la limite inductive des duals des orbites de tous les sous-groupes normaux ouverts.
   • L'auteur utilise les foncteurs de Mackey spectra et la théorie des catégories de modules sur les spectres d'anneaux équivariants pour analyser ces structures. Un outil technique clé est l'identification de la relation entre ces deux notions via les $t$-structures et l'hypercomplétion.

2. Motifs et correspondances :

   • L'auteur construit l'$\infty$-catégorie des motifs effectifs de Voevodsky $DM^{\text{eff}}_{\tau}(S; R)$ (pour $\tau = \text{Nisnevich}$ ou $\text{étale}$) en utilisant des correspondances finies avec coefficients.
   • Les motifs d'Artin lisses $DAM_{\tau}(S; R)$ sont définis comme la sous-catégorie localisante engendrée par les motifs de schémas $S$-étales finis.
   • L'auteur établit un pont entre ces motifs et les catégories équivariantes définies dans la première partie en utilisant l'équivalence de Grothendieck entre les schémas étales finis sur $S$ et les $G$-ensembles finis discrets (où $G = \pi_1^{\text{ét}}(S)$).
   • Crucialement, l'article étudie le comportement des « transferts » (correspondances finies) dans le contexte des faisceaux étales sur les schémas étales finis, prouvant que les faisceaux étales sur ces schémas admettent naturellement des transferts.

Contributions clés et résultats

• Distinction de la complétude de Borel : Le papier identifie que, pour les groupes profinis, la complétude de Borel « niveau par niveau » et la « complétude de Borel » standard (définie via l'algèbre $A$) sont généralement distinctes.

  • Théorème 3.30 : La catégorie des $G$-spectres de Borel complets est équivalente à l'hypercomplétion de la catégorie des $G$-spectres de Borel complets niveau par niveau. Cela fournit une relation structurelle précise entre les deux notions.

• Équivalence avec les faisceaux et les représentations :

  • Proposition 4.8 & 4.13 : Le papier établit un diagramme commutatif reliant les catégories de Borel complets des spectres équivariants aux catégories de faisceaux sur les $G$-ensembles finis et aux catégories dérivées de modules discrets.
  • Plus précisément, la catégorie des modules de Borel complets niveau par niveau est équivalente à la catégorie des faisceaux sur les $G$-ensembles finis, tandis que la catégorie de Borel complet correspond aux hypersheaves (sous certaines conditions sur la dimension cohomologique virtuelle de $G$).

• Généralisation du théorème de Voevodsky (cas Nisnevich) :

  • Théorème 5.19 : Pour un schéma connexe, noethérien de dimension de Krull finie, il existe une équivalence monoidale symétrique entre l'$\infty$-catégorie des motifs d'Artin lisses (topologie de Nisnevich) et la catégorie dérivée des modules de permutation sur le groupe profini $\pi_1^{\text{ét}}(S, s)$ :
    $$DAM^{\text{Nis}}(S; R) \simeq D\text{Perm}(\pi_1^{\text{ét}}(S, s); R)$$
  • Ce résultat confirme que la description classique des motifs d'Artin via les représentations de Galois s'étend aux schémas de base généraux dans la topologie de Nisnevich.

• Cas étale et transferts :

  • Théorème 5.34 : Le papier prouve que les faisceaux étales sur les schémas étales finis possèdent automatiquement des transferts. Cela identifie la catégorie des faisceaux étales avec transferts sur les schémas étales finis avec la catégorie des faisceaux étales sur les schémas étales finis (sans référence explicite aux correspondances).
  • Théorème 5.37 : Un diagramme commutatif complet est présenté, liant les modules de permutation dérivés, les spectres de Borel complets et les motifs d'Artin lisses pour les topologies de Nisnevich et étale.
  • Corollaire 5.31 : Dans le cas étale hypercomplété, sous l'hypothèse que l'anneau de coefficients $R$ a une caractéristique $n$ positive et que les caractéristiques résiduelles de $S$ sont premières à $n$, la catégorie des motifs d'Artin lisses est équivalente à la catégorie des hypersheaves avec transferts sur les schémas étales finis.

Signification et affirmations
Le papier prétend résoudre la question de savoir si la description de Voevodsky des motifs d'Artin tient pour les schémas de base généraux. Il l'affirme pour la topologie de Nisnevich et fournit une réponse nuancée pour la topologie étale, soulignant le rôle de l'hypercomplétion.

La signification réside dans :

1. Cadre unificateur : Il unifie la théorie des motifs avec l'homotopie équivariante des groupes profinis, montrant que les motifs d'Artin lisses sont contrôlés par le groupe fondamental étale.
2. Clarification de l'équivariance profinite : Il clarifie la distinction subtile entre la complétude de Borel niveau par niveau et la complétude de Borel hypercomplète dans le cadre profinite, identifiant cette dernière comme la notion correcte pour capturer la structure complète des faisceaux étales (hypersheaves).
3. Transfert des transferts : Il fournit une preuve indépendante que les faisceaux étales sur les schémas étales finis portent intrinsèquement des transferts, un résultat connu mais qui reposait sur des identifications d'ensembles de morphismes spécifiques dans d'autres littératures.

L'auteur note que si le cas de Nisnevich produit une équivalence nette, le cas étale nécessite de distinguer entre faisceaux et hypersheaves, et que l'équivalence aux modules de permutation dans le cas étale non-hypercomplété nécessite des calculs supplémentaires d'espaces de passage qui ne sont pas effectués dans ce travail. Les résultats sont présentés comme une étape fondamentale, s'appuyant sur les travaux récents de Balmer–Gallauer et Dubey–Gómez concernant les spectres de Balmer de ces catégories.