A $Tb$ type theorem for suppressed kernels

Résumé technique : Un théorème de type $Tb$ pour les noyaux supprimés

Énoncé du problème
L'article traite de la bornitude des opérateurs d'intégrales singulières (OIS) dans un cadre non homogène. Plus précisément, il cherche à étendre le théorème $Tb$ classique aux dimensions arbitraires ($\mathbb{R}^d$) et aux opérateurs définis par des noyaux qui ne sont pas nécessairement antisymétriques. Le travail s'inscrit dans le cadre de la théorie de Calderón-Zygmund non homogène, où la mesure de Radon sous-jacente $\mu$ ne satisfait pas la condition de doublage ($\mu(B(x, 2r)) \leq c\mu(B(x, r))$). Au lieu de cela, la mesure est supposée avoir une croissance polynomiale de degré $n$ ($\mu(B(x, r)) \leq c_0 r^n$), bien que cette condition puisse même échouer sur une famille contrôlée de boules.

La motivation principale découle de la caractérisation géométrique des ensembles rémuables pour les fonctions analytiques bornées (le problème de Painlevé). Alors que la comparabilité de la capacité analytique $\gamma$ et de la capacité analytique positive $\gamma_+$ a été établie dans le cas planaire ($d=2$) par Tolsa via un théorème $Tb$ pour la transformée de Cauchy, une généralisation aux dimensions supérieures et aux fonctions harmoniques lipschitziennes nécessite un théorème $Tb$ correspondant pour des noyaux non antisymétriques en dimensions arbitraires.

Méthodologie
La preuve emploie une combinaison sophistiquée de techniques adaptées des travaux de Nazarov, Treil et Volberg (NTV), spécifiquement ajustées pour le contexte non homogène et de dimension supérieure. La méthodologie est structurée comme suit :

1. Noyaux supprimés : Pour gérer l'absence de doublage et les singularités potentielles de la mesure, l'auteur introduit des noyaux « supprimés ». Pour une fonction 1-lipschitzienne $\Theta: \mathbb{R}^d \to [0, \infty)$, un noyau modifié $\tilde{k}_\Theta$ est défini en multipliant le noyau original $k$ par une fonction de coupure lisse $\tilde{\chi}$. Cette modification supprime efficacement le noyau près de la diagonale où la mesure pourrait être irrégulière, tout en préservant les propriétés de Calderón-Zygmund. L'opérateur associé $K_\Theta$ est montré comme étant borné dans $L^2(\mu)$ sous certaines conditions sur $\Theta$.

2. Ensembles exceptionnels et contrôle de croissance : La preuve identifie un « ensemble exceptionnel » $S$ où les opérateurs maximaux associés aux fonctions de test $b_1$ et $b_2$ sont grands. En choisissant un seuil $\alpha$ suffisamment grand, la mesure de $S$ peut être rendue arbitrairement petite par rapport au support de $\mu$. L'analyse est ensuite restreinte à un sous-ensemble $G$ où la mesure $\mu$ présente la croissance polynomiale souhaitée, et l'opérateur $T$ est montré comme étant borné dans $L^2(\mu|_G)$.

3. Réseaux dyadiques et décomposition de martingale : Au lieu de fixer un seul réseau dyadique, la preuve utilise une famille de réseaux dyadiques aléatoires $\mathcal{D}(w)$ obtenus par translation du réseau standard. Les cubes sont classés comme « de transit » ou « terminaux » en fonction de leur relation avec les ensembles exceptionnels. Une décomposition de martingale est établie dans $L^2(\mu)$, exprimant toute fonction $f$ comme une somme de projections sur ces cubes de transit et un terme de moyenne globale.

4. Cubes bons et mauvais : Une distinction cruciale est faite entre les cubes « bons » et « mauvais ». Un cube dans un réseau est « mauvais » par rapport à un autre réseau s'il est trop proche de la frontière d'un cube du second réseau ou s'il interagit avec la frontière d'un cube enfant d'une manière qui viole les conditions de petite frontière. La définition de « mauvais » dépend de paramètres $m$ et $M$.

5. Argument probabiliste : Le cœur de la preuve repose sur un argument probabiliste. L'auteur démontre que pour une fonction « bonne » fixée (dont la décomposition de martingale ne comporte que des cubes bons), la probabilité qu'un cube de transit soit « mauvais » par rapport à un second réseau choisi aléatoirement peut être rendue arbitrairement petite en choisissant $m$ et $M$ suffisamment grands. Cela permet de contrôler l'estimation de l'action de l'opérateur sur la partie « mauvaise » de la fonction via l'espérance.

6. Estimations pour les fonctions bonnes : L'essentiel du travail technique consiste à estimer le produit scalaire $\langle K_\Theta f, g \rangle$ où $f$ et $g$ sont des fonctions bonnes. La somme des termes est décomposée selon les positions relatives et les tailles des cubes impliqués (distants, intersectants, taille comparable, etc.).

   • Cubes distants : Les estimations reposent sur la régularité du noyau et la séparation des supports.
   • Cubes intersectants/de taille comparable : Ceux-ci nécessitent une manipulation prudente des termes « mauvais ». L'auteur utilise une décomposition de paraproduit et exploite le fait que si l'opérateur était antisymétrique, certains termes s'annuleraient. Puisque le noyau n'est pas antisymétrique, ces termes sont bornés grâce à la petiteur de probabilité des cubes mauvais et aux propriétés géométriques spécifiques du noyau supprimé.

Contributions clés et résultats
Le résultat principal est le Théorème 2.1, un théorème $Tb$ non homogène pour les opérateurs de Calderón-Zygmund de dimension arbitraire.

• Hypothèses : Le théorème suppose l'existence de deux fonctions bornées $b_1, b_2$ (accrétives sur les cubes de transit) et d'une mesure de Radon finie $\mu$. Il exige que les opérateurs adjoints $T^*$ appliqués à $b_1\mu$ et $T^*_*$ appliqués à $b_2\mu$ soient bornés dans un sens spécifique en dehors d'un ensemble exceptionnel.
• Conclusion : Il existe un sous-ensemble $G \subset \text{supp}(\mu)$ tel que :
  1. $\mu(G)$ est comparable à $\mu(\text{supp}(\mu))$.
  2. La mesure restreinte $\mu|_G$ possède une croissance linéaire (croissance polynomiale de degré $n$).
  3. L'opérateur d'intégrale singulière $T$ est borné dans $L^2(\mu|_G)$.

Les constantes impliquées dépendent uniquement des constantes de Calderón-Zygmund du noyau, de la constante de croissance $c_0$, des constantes d'accrétivité et des bornes sur les fonctions de test.

Signification et revendications
L'article affirme fournir une extension rigoureuse du théorème $Tb$ à une classe plus large d'opérateurs et de contextes :

• Dimension : Il généralise les résultats planaires (spécifiquement ceux de Nazarov, Treil et Volberg pour la transformée de Cauchy) à une dimension $d$ arbitraire.
• Symétrie : Il lève l'exigence que le noyau soit antisymétrique, ce qui constitue un écart significatif par rapport aux applications précédentes à la capacité analytique.
• Application à la rémuabilité : L'auteur note que ce résultat est un outil nécessaire pour étudier la capacité harmonique lipschitzienne dans $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$). En passant des fonctions analytiques aux fonctions harmoniques lipschitziennes, le problème de la rémuabilité peut être reformulé en dimensions supérieures, et ce théorème $Tb$ fournit la machinerie analytique pour caractériser de tels ensembles rémuables.

L'article reconnaît que la preuve est hautement technique, divisant l'argument en sections couvrant les préliminaires, la construction des opérateurs supprimés, les décompositions de martingales, les estimations pour les fonctions bonnes, une inégalité de type Cotlar, et l'argument probabiliste final. Il note également qu'un théorème $Tb$ local très général a été prouvé indépendamment et simultanément par Merlo, Mourgoglou et Puliatti, duquel le résultat de cette thèse peut être dérivé.