Amplified moments of the Riemann zeta function

Résumé Technique : Moments Amplifiés de la Fonction Zeta de Riemann

Énoncé du Problème
L'évaluation des moments de la fonction zeta de Riemann, définie par $M_k(T) = \int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$, est un problème central de la théorie analytique des nombres. Bien que des formules asymptotiques soient connues pour $k=1$ et $k=2$ (Hardy–Littlewood et Ingham), et que des bornes précises existent pour des $k$ plus élevés (sous réserve de l'Hypothèse de Riemann pour les bornes supérieures), les formules asymptotiques inconditionnelles pour $k \ge 3$ restent hors de portée. L'objectif principal de ce travail est d'établir des bornes inférieures effectives inconditionnelles améliorées pour les moments classiques $M_k(T)$ ainsi que pour divers moments joints impliquant les dérivées de $\zeta(s)$. Ces bornes sont comparées aux conjectures de Keating–Snaith, Keating–Wei, et autres, qui sont motivées par la théorie des matrices aléatoires.

Méthodologie
Les auteurs emploient une méthode de « moments amplifiés », utilisant des valeurs moyennes tordues pour sonder les moments d'ordre supérieur. La technique centrale repose sur l'inégalité de Hölder appliquée à des intégrales de la forme :
$$\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt \ge \frac{\left( \int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^4 |A(1/2 + it) + \chi(1/2 + it)A(1/2 - it)|^{2k-4} dt \right)^{k-1}}{\left( \int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^2 |A(1/2 + it) + \chi(1/2 + it)A(1/2 - it)|^{2k-2} dt \right)^{k-2}}$$
où $A(s)$ est un polynôme de Dirichlet de longueur $y = T^\theta$ (ou $T^\vartheta$ pour les moments d'ordre quatre) avec des coefficients polynomiaux lisses $P[n]$.

Composantes méthodologiques clés :

1. Amplificateur à deux pièces : Contra manirement aux approches précédentes qui utilisaient un unique polynôme de Dirichlet, les auteurs utilisent l'amplificateur « à deux pièces » $A(s) + \chi(s)A(1-s)$, qui imite l'équation fonctionnelle approchée. Cela permet une meilleure modélisation de $\zeta(s)$ et facilite le traitement des moments joints.
2. Décomposition binomiale : La puissance de l'amplificateur est développée en utilisant le théorème du binôme, séparant l'intégrale en un terme principal (contributions diagonales) et des termes oscillatoires impliquant des puissances de $\chi(1-s)$.
3. Évaluation asymptotique : Les auteurs établissent des formules asymptotiques pour les seconds et quatrièmes moments tordus avec des puissances élevées de l'amplificateur. Ils prouvent que les termes avec de hautes puissances de $\chi(1-s)$ (spécifiquement $\nu \ge 2$ pour les seconds moments et $\nu \ge 3$ pour les quatrièmes moments) sont négligeables ($O(T^{1-\varepsilon})$) en raison d'une oscillation rapide, à condition que les paramètres de longueur de l'amplificateur satisfassent $\theta_k < 1/(2k)$ et $\vartheta_k < 1/(4k)$.
4. Intégrales de polytopes : Les termes principaux sont réduits à des intégrales de grande dimension sur des polytopes (simplexes). Ces intégrales sont évaluées explicitement à l'aide de transformées de Mellin et des propriétés de la fonction zeta de Riemann, aboutissant à des expressions impliquant la fonction $G$ de Barnes et des facteurs arithmétiques.
5. Optimisation : Les coefficients du polynôme $P(x)$ sont optimisés numériquement (en utilisant Wolfram Mathematica) pour maximiser les bornes inférieures résultantes.

Contributions et Résultats Clés

• Bornes Inférieures Inconditionnelles pour les Moments Classiques :
  Le papier établit une nouvelle borne inférieure inconditionnelle pour le sixième moment :
  $$M_3(T) \ge (34.1 + o(1))c_3 T (\log T)^9$$
  Ceci améliore les bornes précédentes de Conrey–Ghosh, Soundararajan et Page, se rapprochant de la valeur conjecturée de Keating–Snaith $42c_3 T (\log T)^9$.

• Moments de Dérivées :
  De nouvelles bornes inférieures inconditionnelles sont obtenues pour les sixièmes moments de la première et de la seconde dérivée de $\zeta(s)$ :
  $$\int_0^T |\zeta'(1/2 + it)|^6 dt \ge (0.549 + o(1))c_3 T (\log T)^{15}$$
  $$\int_0^T |\zeta''(1/2 + it)|^6 dt \ge (0.0231 + o(1))c_3 T (\log T)^{21}$$
  Ces résultats améliorent les bornes de Page et d'autres.

• Moments Joints :
  Les auteurs fournissent des bornes inférieures inconditionnelles pour plusieurs moments joints impliquant $\zeta(s)$ et ses dérivées (par exemple, $\int |\zeta|^2 |\zeta'|^4$, $\int |\zeta|^4 |\zeta'|^2$, etc.). Ces bornes sont en fort accord avec les conjectures de Keating–Wei.

• Raffinement des Bornes de Soundararajan (Théorème 10) :
  Le papier lève l'hypothèse de l'Hypothèse de Lindelöf pour les bornes de Soundararajan concernant $M_5(T)$ et $M_6(T)$, les rendant inconditionnelles. De plus, en introduisant une seconde pièce à l'amplificateur, les auteurs améliorent les bornes inférieures pour $M_k(T)$ pour $7 \le k \le 11$. Par exemple :
  $$M_5(T) \ge (6484 + o(1))c_5 T (\log T)^{25}$$
  $$M_6(T) \ge (56260 + o(1))c_6 T (\log T)^{36}$$
  Ces résultats sont dérivés en modifiant les arguments de Soundararajan pour traiter les termes oscillatoires de manière inconditionnelle.

• Moments Joints Généraux (Théorème 11) :
  Une borne inférieure inconditionnelle générale est établie pour tous les moments entiers joints de $\zeta(s)$ et de ses dérivées. La borne est donnée en termes d'une constante $C(a_1, \dots, a_K)$ dérivée d'un produit d'Euler et d'une dérivée d'une fonction rationnelle, cohérente avec les prédictions de la théorie des matrices aléatoires.

Signification et Revendications
Le papier affirme faire progresser de manière significative l'état des connaissances concernant les bornes inférieures des moments de zeta. Sa principale importance réside dans :

1. Suppression des Hypothèses Conditionnelles : Il réussit à lever l'exigence de l'Hypothèse de Lindelöf pour des moments d'ordre élevé spécifiques ($k=5, 6$) et fournit des bornes inconditionnelles pour une large gamme de moments joints.
2. Amélioration des Constantes Numériques : Les bornes inférieures dérivées sont numériquement plus proches des valeurs conjecturées (Keating–Snaith, Keating–Wei) que tout résultat inconditionnel précédent.
3. Flexibilité Méthodologique : L'approche des moments amplifiés à « deux pièces » s'avère particulièrement efficace pour les moments joints, surmontant les difficultés de calcul liées aux intégrales de polytopes pour les moments supérieurs en combinant les techniques d'amplificateur de Soundararajan.

Les auteurs notent que bien que leur méthode produise des bornes fortes, la longueur du polynôme de Dirichlet admissible diminue à mesure que l'ordre du moment $k$ augmente, ce qui limite la récupération de certains phénomènes uniformes observés dans d'autres cadres (tels que ceux de Bui, Hall, et Subira Jorge). Cependant, pour l'objectif spécifique d'obtenir des bornes inférieures effectives inconditionnelles pour les moments entiers, l'approche s'avère très fructueuse.