Effective results on projective normality of the first and second secant varieties

Résumé Technique : Résultats Effectifs sur la Normalité Projective des Variétés Secantes Première et Seconde

Énoncé du Problème
Soit $X$ une variété complexe projective lisse de dimension $n$, plongée dans $\mathbb{P}^r$ via le système linéaire complet d'un fibré en lignes très ample $L$. La $k$-ième variété sécante, $\Sigma_k(X, L)$, est la clôture de l'union des espaces linéaires de $k+1$ points sur $X$. Un problème central en géométrie algébrique est de déterminer les propriétés géométriques et cohomologiques de ces variétés sécantes, spécifiquement leurs singularités et la génération de leurs idéaux définissants.

Les travaux antérieurs de Chou–Song, Ullery, Ein–Niu–Park, et Choi–Lacini–Sheridan–Park ont établi que pour des fibrés en lignes suffisamment positifs, $\Sigma_k$ possède des singularités légères (Du Bois normales) et est projectivement normale. Cependant, ces résultats étaient souvent non effectifs ou manquaient de bornes explicites sur la positivité requise. De plus, bien qu'il soit connu que l'idéal homogène $I(\Sigma_k)$ est généré en degré $k+2$ sous certaines conditions, des critères effectifs pour cette génération, et spécifiquement la génération par les mineurs $3 \times 3$ d'une matrice catalectique (une conjecture d'Eisenbud–Koh–Stillman et Sidman–Smith), restaient à quantifier pleinement pour les dimensions supérieures.

Cet article vise à établir des bornes effectives sur la positivité du fibré en lignage $L$ pour assurer :

1. La normalité projective et les singularités Du Bois normales pour les premières ($\Sigma_1$) et secondes ($\Sigma_2$) variétés sécantes.
2. La génération de l'idéal définissant $I(\Sigma_1)$ par des cubiques.
3. La génération de $I(\Sigma_1)$ par les mineurs $3 \times 3$ d'une matrice de formes linéaires (la matrice catalectique).

Les auteurs supposent $n \ge 2$, car des résultats effectifs précis pour les courbes ($n=1$) ont été établis par Ein–Niu–Park et Agostini–Park.

Méthodologie
Les preuves reposent sur une approche cohomologique développée dans les travaux précédents des auteurs et de leurs collaborateurs. La stratégie consiste à réduire les propriétés géométriques des variétés sécantes aux théorèmes de disparition de la cohomologie pour les fibrés vectoriels sur les schémas de Hilbert de points et les schémas de Hilbert imbriqués (nested Hilbert schemes) de points.

Composantes techniques clés :

• Schémas de Hilbert : Les auteurs utilisent le schéma de Hilbert de $k$ points, $X[k]$, et le schéma de Hilbert imbriqué $X[k_1, \dots, k_\ell]$. Ils considèrent les fibrés vectoriels tautologiques $E_{k,L}$ associés au fibré en lignage $L$.
• Résolution de Singularités : La variété sécante $\Sigma_k$ est réalisée comme l'image d'un morphisme birationnel $\alpha_k: B_k \to \Sigma_k$, où $B_k = \mathbb{P}(E_{k+1, L})$ est un fibré projectif sur $X[k+1]$. Les singularités de $\Sigma_k$ sont analysées via les diviseurs exceptionnels de cette résolution.
• Disparition de la Cohomologie : Le cœur de l'argument implique de prouver la disparition des groupes de cohomologie supérieure $H^i$ pour des fibrés vectoriels spécifiques sur $X[k]$ et des schémas imbriqués. Ces théorèmes de disparition sont dérivés du théorème de disparition de Kawamata–Viehweg.
• Conditions de Positivité : Le fibré en lignage $L$ est supposé de la forme $L = \omega_X \otimes H^m \otimes B$, où $H$ est très ample, $B$ est nef, et $m$ est un entier. Les auteurs déterminent l'entier minimal $m$ requis pour assurer que les fibrés nécessaires soient « nef et grand » ou satisfassent des conditions de positivité spécifiques (par exemple, $(k-1)$-très ample) pour déclencher la disparition.
• Singularités des Schémas : Un ingrédient crucial est le fait que les schémas de Hilbert imbriqués $X[1,2,3]$ et $X[1,2,3,4]$ possèdent des singularités de Gorenstein canoniques, un résultat établi dans la littérature antérieure ([7], [8]). Cette propriété est essentielle pour appliquer les théorèmes de disparition et analyser la nature Du Bois des singularités.

Contributions et Résultats Clés

1. Bornes Effectives pour la Normalité Projective et les Singularités (Théorème 1.1)
L'article établit que pour $n \ge 2$, si $L = \omega_X \otimes H^m \otimes B$ avec $m \ge 2n + 2$ (pour $k=1$) ou $m \ge 3n + 3$ (pour $k=2$), alors :

• $\Sigma_k$ possède des singularités Du Bois normales.
• $\Sigma_k$ est projectivement normale.
• Les groupes de cohomologie supérieure $H^i(\Sigma_k, \mathcal{O}_{\Sigma_k}(\ell))$ sont nuls pour $i > 0, \ell > 0$.
• $\Sigma_k$ est Cohen–Macaulay (resp. possède des singularités rationnelles) si et seulement si $H^i(X, \mathcal{O}_X) = 0$ pour $1 \le i \le n-1$ (resp. $1 \le i \le n$).

Ce résultat améliore les bornes non effectives précédentes et confirme que $m \ge 2n + 2$ suffit pour la normalité projective de $\Sigma_1$.

2. Génération par des Cubiques (Théorème 1.2)
Les auteurs fournissent une condition effective pour que l'idéal homogène $I(\Sigma_1)$ soit généré par des cubiques.

• Résultat : Si $m \ge 3n + 2$, alors $I(\Sigma_1(X, L))$ est généré par des cubiques.
• Méthode : Ceci est prouvé en montrant la disparition de groupes de cohomologie de Koszul spécifiques $K_{1,q}(\Sigma_1, \mathcal{O}_{\Sigma_1}(1))$ pour $q \ge 3$, ce qui se réduit à la disparition de la cohomologie sur $X[2]$ impliquant les puissances extérieures du fibré noyau $M_{2,L}$.

3. Présentation Déterminante (Théorème 1.3)
L'article rend effective la conjecture d'Agostini–Park (que $I(\Sigma_k)$ est généré par les mineurs $(k+2) \times (k+2)$ d'une matrice catalectique) pour $k=1$.

• Résultat : Soit $L = L_1 \otimes L_2$ où $L_i = \omega_X \otimes H^{m_i} \otimes B_i$. Si $m_1, m_2 \ge 3n + 2$, alors $I(\Sigma_1(X, L))$ est généré par les mineurs $3 \times 3$ de la matrice catalectique $Cat(L_1, L_2)$.
• Méthode : La preuve démontre la surjectivité d'une application linéaire du produit tensoriel des sections globales vers la partie de degré 3 de l'idéal. Cette surjectivité est réduite à la disparition de la cohomologie sur $X[2]$ et $X[2,3]$ impliquant les puissances symétriques et extérieures des fibrés noyaux.

Signification
L'article fournit des seuils effectifs et quantitatifs pour la positivité des fibrés en lignage qui garantissent des propriétés géométriques désirables pour les variétés sécantes. En passant de déclarations qualitatives de « suffisance de positivité » à des bornes explicites impliquant la dimension $n$, les résultats rendent la théorie applicable à des calculs concrets et à des variétés spécifiques.

Plus précisément, l'article :

• Affine la compréhension des singularités des variétés sécantes, confirmant qu'elles sont Du Bois sous des conditions explicites.
• Résout la version effective de la conjecture concernant la présentation déterminante de la première variété sécante pour $n \ge 2$, étendant les résultats précédents connus pour les courbes ou des plongements spécifiques (comme le Veronese).
• Unifie l'approche de la normalité projective, de la génération d'idéaux et de l'analyse des singularités à travers un cadre cohomologique robuste sur les schémas de Hilbert, en exploitant la nature de Gorenstein canonique des schémas de Hilbert imbriqués.

Les auteurs notent que leurs résultats sont cohérents avec et généralisent les découvertes antérieures pour les courbes et certains cas spécifiques, tout en fournissant les premières bornes effectives pour les variétés de dimension supérieure dans le contexte de la conjecture de présentation déterminante.