The classification of real quadratic fields which satisfy Hammarhjelm's condition

Résumé technique : La classification des corps quadratiques réels satisfaisant la condition de Hammarhjelm

Énoncé du problème
Cet article traite de la classification des corps quadratiques réels $K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})$ (où $D > 1$ est sans carré) qui satisfont la « condition de Hammarhjelm ». Un corps satisfait cette condition si deux critères sont remplis :

1. L'anneau des entiers $\mathcal{O}_K$ possède la factorisation unique (c'est-à-dire que le nombre de classes $h_K = 1$).
2. Le réseau de Minkowski $f(\mathcal{O}_K) \subset \mathbb{R}^2$, défini par l'application $\alpha \mapsto (\alpha, \sigma(\alpha))$, ne contient aucun point à l'intérieur du rectangle ouvert $(1, \lambda) \times (-1, 1)$, où $\lambda > 1$ est l'unité fondamentale de $K$.

Ces corps sont apparus récemment dans l'étude des points visibles dans les ensembles de type « cut-and-project » algébriques. Avant ce travail, les exemples connus étaient limités à $D \in \{2, 5, 13, 29, 53\}$. L'objectif est de déterminer la liste complète de ces corps.

Méthodologie
La preuve procède en établissant une relation entre la condition de Hammarhjelm et la taille de l'unité fondamentale par rapport au discriminant, suivie d'une analyse par cas utilisant la théorie des genres et les classifications existantes des corps de nombre de classe un.

1. Bornage de l'unité fondamentale :
   L'auteur démontre d'abord que la condition de Hammarhjelm impose que l'unité fondamentale $\lambda$ soit petite par rapport au discriminant $\Delta_K$.

• Si $D \equiv 2, 3 \pmod 4$, alors $\lambda < 2\sqrt{D} = \sqrt{\Delta_K}$.
• Si $D \equiv 1 \pmod 4$, alors $\lambda < \frac{\sqrt{D}+1}{2} = \frac{\sqrt{\Delta_K}+1}{2}$.
  Ce bornage est dérivé en construisant des éléments spécifiques dans $\mathcal{O}_K$ qui tomberaient dans le rectangle interdit si $\lambda$ était plus grand.

2. Théorie des genres et groupes de classes étroits :
   Le papier utilise la théorie des genres pour restreindre les discriminants possibles pour les corps de nombre de classe un. Plus précisément, le nombre de classes étroit $h_K^+$ est divisible par $2^{r(K)-1}$, où $r(K)$ est le nombre de facteurs premiers distincts de $\Delta_K$. Pour $h_K=1$, cela implique que $r(K) \le 2$.

• Le cas $r(K)=2$ avec $D \equiv 1 \pmod 4$ (où $\Delta_K = pq$) est analysé via le 4-rang du groupe de classes étroit (par les matrices de Rédei). Il est démontré que si $p, q \equiv 1 \pmod 4$ et $q = p+4$, le 4-rang est de 1, impliquant $h_K > 1$.

3. Classification par type de discriminant :
   La preuve divise le problème selon la congruence de $D$ modulo 4 :

• $D \equiv 2, 3 \pmod 4$ : L'auteur montre qu'aucun de ces corps ne satisfait la condition pour $D > 2$. Pour $D=2$, la condition est satisfaite. Pour $D \equiv 3 \pmod 4$, l'absence d'unités de norme négative et le bornage sur $\lambda$ mènent à une contradiction pour tout nombre premier $D$.
• $D \equiv 1 \pmod 4$ :
  • Discriminant premier ($D=p$) : Le bornage sur $\lambda$ force l'unité fondamentale à avoir une norme de $-1$, plaçant $D$ sous la forme $D = (2m+1)^2 + 4$. Cela identifie les corps comme un sous-ensemble de la famille de Yokoi.
  • Discriminant composé ($D=pq$) : L'analyse exclut les cas où $p, q \equiv 1 \pmod 4$ (en raison de l'argument du 4-rang) et les cas où $p, q \equiv 3 \pmod 4$ (qui appartiennent à la famille « étroite de Richaud-Degert », montrée comme échouant à la condition H pour $D > 5$).

4. Application de la classification de Biró :
   Pour les corps identifiés comme appartenant à la famille de Yokoi ($D = m^2 + 4$), le papier s'appuie sur la classification de Biró (2003) des corps de nombre de classe un au sein de cette famille. Biró a déterminé que les seuls discriminants sans carré de cette forme avec un nombre de classe un sont $D \in \{5, 13, 29, 53, 173, 293\}$.

Contributions principales et résultats
Le résultat principal est le Théorème 1.1, qui stipule qu'il existe exactement sept corps quadratiques réels satisfaisant la condition de Hammarhjelm. Ils correspondent aux discriminants :
$$D \in \{2, 5, 13, 29, 53, 173, 293\}$$

Le papier fournit une preuve rigoureuse que :

• Les exemples précédemment connus ($D=2, 5, 13, 29, 53$) font partie d'une liste complète.
• Deux champs supplémentaires, $D=173$ et $D=293$, satisfont la condition.
• Aucun autre corps quadratique réel ne satisfait la condition.

La preuve établit que la condition de Hammarhjelm implique que l'unité fondamentale est petite par rapport au discriminant, ce qui restreint l'espace de recherche à des familles spécifiques de corps (la famille de Yokoi et les extensions étroites de Richaud-Degert) où les corps de nombre de classe un sont déjà classifiés.

Signification
Ce papier résout le problème de la détermination de tous les corps quadratiques réels satisfaisant la condition de Hammarhjelm, un problème motivé par les développements récents dans l'étude des points visibles dans les ensembles de type « cut-and-project » algébriques. En combinant des bornes élémentaires sur l'unité fondamentale avec des résultats profonds de la théorie des genres et la classification de la famille de Yokoi, l'auteur fournit une liste définitive et finie de tels corps, étendant l'ensemble connu de cinq à sept exemples.