Optimization Algorithm for Determining the Source Surface Radius Based on Parker Solar Probe in situ Measurements from Encounters 1 to 19

Résumé technique : Algorithme d'optimisation pour la détermination du rayon de la surface source basée sur les mesures in situ de la sonde Parker Solar Probe

Énoncé du problème
L'extrapolation par le modèle de la Surface Source à Champ Potentiel (PFSS) est une méthode standard pour estimer le champ magnétique coronal à grande échelle à partir des magnétogrammes photosphériques. Un paramètre critique de ce modèle est le rayon de la surface source ($R_{ss}$), une limite sphérique où le champ magnétique est supposé devenir radial. Bien que $R_{ss} = 2,5 R_s$ soit une valeur de référence conventionnelle, des études antérieures indiquent qu'une valeur unique ne peut satisfaire universellement toutes les contraintes observationnelles (ex. : étendue des trous coronaux, flux magnétique ouvert, et polarité magnétique). L' $R_{ss}$ optimal est connu pour varier avec l'activité solaire, mais déterminer une valeur rigoureuse et contrainte par les observations reste un défi. Cet article traite du problème inverse de la détermination de l' $R_{ss}$ optimal en minimisant l'écart entre les extrapolations PFSS et les mesures de champ magnétique in situ, en utilisant spécifiquement les données de la Parker Solar Probe (PSP) lors des rencontres (Encounters) 1 à 19.

Méthodologie
Les auteurs abordent la détermination de l' $R_{ss}$ comme un problème d'optimisation de forme dans un cadre de frontière libre.

1. Formulation mathématique :

   • Le problème direct PFSS est formulé comme un problème de valeur aux limites elliptique du second ordre avec des conditions mixtes de Dirichlet et de Neumann. Les auteurs prouvent la formulation correcte (existence et unicité) de la solution directe dans l'espace de Sobolev $H^1(\Omega)$.
   • Le problème inverse est conçu comme la minimisation d'une fonctionnelle d'objectif sur un ensemble admissible de domaines. Les auteurs prouvent la compacité de l'ensemble admissible et la continuité de la fonctionnelle d'objectif, établissant ainsi l'existence d'un minimum global pour le problème inverse. Ces preuves s'appliquent aux géométries de surface source sphériques et non sphériques.

2. Données et prétraitement :

   • Entrées : Des magnétogrammes photosphériques synoptiques provenant du Global Oscillation Network Group (GONG) servent de condition limite interne.
   • Observations : Le champ magnétique radial ($B_r$) et la vitesse du vent solaire radiale ($v_r$) de la PSP (instruments FIELDS et SWEAP) pour les rencontres 1 à 19.
   • Traitement : Les données de la PSP subissent une suppression des valeurs aberrantes (critère de l'écart interquartile) et un moyennage temporel (cadence de 20 minutes). Les lacunes de vitesse du vent solaire sont comblées par interpolation linéaire pour permettre un rétro-tracé continu selon la spirale de Parker.
   • Validation : Des mesures in situ indépendantes de l'Advanced Composition Explorer (ACE) près de 1 UA sont utilisées pour la validation croisée.

3. Algorithme d'optimisation :

   • Fonctionnelle d'objectif : L'algorithme minimise l'erreur quadratique moyenne (MSE) entre le $B_r$ observé par la PSP et le $B_r$ prédit par le PFSS. La prédiction PFSS est dérivée en retraçant la position de la sonde vers la surface source le long des spirales de Parker, en échantillonnant le champ PFSS, et en appliant une mise à l'échelle radiale à la distance de la sonde ($r^2 B_r = \text{const}$).
   • Normalisation : Pour éliminer les différences d'amplitude dépendantes des rencontres, les champs observés et modélisés subissent tous deux une normalisation Z-score avant le calcul de la MSE.
   • Solveur : Un schéma itératif basé sur le gradient (Algorithme 1) est employé. Le gradient est approximé par des différences finies centrées. L'algorithme itère jusqu'à convergence ou jusqu'à atteindre un nombre maximal d'itérations.
   • Validation : L'algorithme est validé par rapport à une solution de champ potentiel analytique et à des données synthétiques avec ajout de bruit gaussien, démontrant sa capacité à récupérer un $R_{ss}$ prescrit.

4. Analyse multiobjectif :

   • Pour comprendre les compromis, les auteurs introduisent deux métriques supplémentaires : le facteur d'échelle du champ magnétique ($\alpha_k$, lié au flux ouvert) et la précision de la prédiction de polarité ($P^k_a$).
   • Une analyse de Pareto (Algorithme 2) est réalisée pour identifier la frontière de Pareto entre l'objectif MSE et l'erreur de prédiction de polarité. Cela quantifie si l'optimisation est principalement pilotée par l'accord d'amplitude ou par la précision de la polarité.

Résultats clés

• Tendance de l' $R_{ss}$ optimal : Les valeurs optimisées de l' $R_{ss}$ pour les rencontres 1 à 19 de la PSP augmentent généralement du minimum solaire vers la phase ascendante du cycle solaire 25. Cette tendance est corroborée par les données indépendantes d'ACE.
• Comparaison avec la référence : Comparées à la référence fixe $R_{ss} = 2,5 R_s$, les solutions optimisées montrent généralement un meilleur accord avec les amplitudes de champ magnétique observées (réduisant l'écart de flux ouvert) tout en préservant ou en améliorant la précision de la prédiction de la polarité magnétique.
• Minimum solaire vs Phase ascendante :
  • Pendant le minimum solaire (premières rencontres), l'optimisation est principalement pilotée par l'accord d'amplitude (flux ouvert). Des valeurs de $R_{ss}$ plus basses sont sélectionnées pour augmenter le flux ouvert modélisé afin de correspondre aux observations.
  • Pendant la phase ascendante, les frontières de Pareto deviennent plus regroupées, indiquant que la précision de la prédiction de polarité devient la métrique dominante. L' $R_{ss}$ optimal augmente pour mieux capturer les structures de secteurs complexes et les inversions de polarité observés.
• Déviations locales : Certaines rencontres spécifiques (ex. : 9 et 13) présentent des écarts locaux par rapport à la tendance générale. Pour la rencontre 13, qui a traversé une éjection de masse coronale (ICME) complexe, l'optimisation a sélectionné un $R_{ss}$ très bas ($1,27 R_s$) pour capturer des inversions de polarité complexes, soulignant les limites de l'hypothèse de la spirale de Parker dans les environnements perturbés.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir une base mathématique rigoureuse pour le problème inverse du PFSS, prouvant l'existence d'un minimiseur unique pour l'estimation du rayon de la surface source. En construisant un algorithme d'optimisation spécifique validé par des solutions analytiques et des données in situ, l'étude démontre que l' $R_{ss}$ n'est pas une constante statique mais un paramètre dynamique qui évolue avec l'activité solaire.

Les auteurs soulignent qu'il n'existe pas de valeur d' $R_{ss}$ "globalement optimale" unique ; plutôt, la valeur optimale dépend des contraintes observationnelles spécifiques et des métriques d'évaluation privilégiées (ex. : flux ouvert vs polarité). L'étude met en évidence un passage de la métrique dominante de l'accord d'amplitude pendant le minimum solaire à l'accord de polarité pendant la phase ascendante. De plus, l'article reconnaît le "problème du flux ouvert", notant que bien que l'optimisation améliore l'accord avec le flux in situ, elle ne résout pas l'écart fondamental entre les estimations de flux basées sur les trous coronaux et les mesures in situ, suggérant que les améliorations futures pourraient nécessiter de meilleures observations du champ magnétique polaire ou des modèles coronaux plus avancés. Ce travail pose un cadre pour l'optimisation de forme future de surfaces sources non sphériques à mesure que les données de missions telles que Solar Orbiter deviendront disponibles.