Global Calderon-Zygmund estimates for irregular double-phase evolution problem with non-divergence data

Résumé technique : Estimations de Calderón-Zygmund globales pour les problèmes d'évolution à double phase irréguliers avec données non divergentes

Formulation du problème
Ce travail étudie l'existence et la régularité globale de solutions fortes pour une classe d'équations paraboliques à double phase irrégulières avec des données non divergentes. Le problème est défini sur un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) sur un intervalle de temps $(0, T)$, noté $Q_T = \Omega \times (0, T)$ :

$$\begin{cases} u_t - \text{div} \left( F(z, \nabla u) \nabla u \right) = f(z), & z = (x, t) \in Q_T, \\ u = 0, & \text{sur } \partial\Omega \times (0, T), \\ u(x, 0) = u_0(x), & \text{dans } \Omega, \end{cases}$$

où la fonction de flux est donnée par $F(z, \xi) = a(z)|\xi|^{p(z)-2} + b(z)|\xi|^{q(z)-2}$. Les exposants $p(z)$ et $q(z)$ sont variables et lipschitiens, tandis que les coefficients de modulation non négatifs $a(z)$ et $b(z)$ satisfont la condition $a(z) + b(z) > 0$. Le problème est caractérisé par une structure de croissance hétérogène : dans les régions où les deux coefficients sont positifs, le flux présente une croissance mixte régie par les deux exposants, tandis que dans les régions où l'un d'eux s'annule, il se réduit à un modèle à phase unique. Les données $f$ sont supposées être dans $L^\sigma(Q_T)$ avec $\sigma > 2$, représentant un forçage sous forme non divergente.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche de régularisation combinée à des estimations d'intégrabilité globale supérieure et une analyse de régularité de second ordre. La méthodologie procède en plusieurs étapes :

1. Régularisation : Le problème original est approché par une famille de problèmes régularisés avec des données lisses et un flux régularisé $F_\epsilon(z, \nabla u)$, où la singularité en $\nabla u = 0$ est gérée par l'introduction d'un paramètre $\epsilon \in (0, 1)$. Les solutions classiques de ces problèmes régularisés sont établies.
2. Estimations a priori : Le cœur de l'analyse consiste à dériver des estimations uniformes indépendantes du paramètre de régularisation $\epsilon$. Cela est réalisé en :
   • Multipliant l'équation régularisée par des fonctions de test spécifiques impliquant la dérivée temporelle et les dérivées spatiales de second ordre.
   • Utilisant la formule de Green pour traiter les intégrales de bord, qui sont estimées à l'aide de la géométrie du domaine et de la régularité des coefficients.
   • Établissant des inégalités d'interpolation et des estimations ponctuelles pour la matrice hessienne de la solution.
   • Appliquant les inégalités de Hölder et de Young pour gérer les exposants variables et le terme non divergent $f$.
3. Gestion des données non divergentes : Un défi technique important abordé est la présence de données non divergentes ($f$ n'est pas sous forme divergente). Contra\text{à} l'exemple elliptique, les équations paraboliques ne permettent pas de réduction à une forme divergente via la régularité de type Bogovskiĭ. Les auteurs développent des estimations spécifiques pour transférer directement l'intégrabilité de $f$ vers les termes de gradient et de flux.
4. Passage à la limite : En utilisant les estimations uniformes, des arguments de compacité (incluant le théorème de convergence de Vitali et les propriétés des espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev), ainsi que la convergence ponctuelle des gradients, les auteurs passent à la limite quand $\epsilon \to 0$ et lorsque les séquences de données approchantes convergent vers les données originales.

Contributions principales et résultats
L'article étend les résultats précédents sur les problèmes à double phase (spécifiquement ceux de [1]) à toute la gamme de paramètres d'intégrabilité $r \ge 0$ et renforce les conclusions de régularité. Les principaux résultats sont résumés comme suit :

• Existence et unicité : Sous certaines conditions d'écart sur les exposants variables $p(z)$ et $q(z)$ et des hypothèses de régularité sur les coefficients $a(z)$ et $b(z)$, le problème admet une solution forte unique $u$.
• Transfert global d'intégrabilité (Théorie de Calderón-Zygmund) : La solution hérite de l'intégrabilité des données initiales et du terme de forçage. Plus précisément, si les données initiales satisfont une condition d'intégrabilité pondérée impliquant $r$, et si $f \in L^\sigma(Q_T)$, alors le flux à double phase maintient cette intégrabilité globalement dans le temps.
• Intégrabilité supérieure du gradient : Le gradient de la solution présente des propriétés d'auto-amélioration. Pour tout $s \in (0, \frac{4}{N+2})$, le gradient satisfait :
  $$|\nabla u|^{2(\min\{p(z), q(z)\}-1)+r+s} \in L^1(Q_T).$$
  Ceci indique que le gradient possède une intégrabilité supérieure à ce que suggère l'espace d'énergie naturel.
• Régularité de second ordre : La solution possède une régularité spatiale de second ordre accrue. Les auteurs prouvent que :
  $$F((\cdot, t), \nabla u(\cdot, t))|\nabla u(\cdot, t)|^{r+2} \in L^1(\Omega) \quad \text{pour presque tout } t \in (0, T),$$
  et
  $$F(z, \nabla u)|\nabla u|^{\frac{r+2}{2}} \in L^2(0, T; W^{1,2}(\Omega)).$$
  Cela implique que le flux pondéré appartient à un espace de Sobolev par rapport aux variables spatiales.

Signification et portée
L'article affirme combler une lacune dans la littérature concernant les équations à double phase paraboliques avec des données non divergentes. Bien que les estimations de type Calderón-Zygmund pour de telles équations avec des données sous forme divergente ou dans le cadre elliptique soient établies (citant les travaux de Kim, Acerbi, Mingione, etc.), des résultats analogues pour le cas non divergent avec des exposants variables étaient auparavant indisponibles.

La signification de ce travail réside dans :

1. Généralisation : L'extension de la gamme du paramètre d'intégrabilité $r$ de $r \ge \max\{2, p_+, q_+\}$ (comme dans les travaux précédents) à toute la gamme $r \ge 0$.
2. Données non divergentes : La gestion réussie de la forme non divergente du terme source $f$, qui nécessite des techniques distinctes par rapport au cas divergent.
3. Coefficients irréguliers : L'accommodation de coefficients de modulation $a(z)$ et $b(z)$ qui ne sont pas nécessairement lisses mais satisfont des conditions d'intégrabilité $L^d$ spécifiques sur leurs dérivées, dépendant du paramètre d'écart $\beta$ entre les exposants.

Les résultats sont présentés comme des améliorations et des compléments à la théorie existante, fournissant un cadre robuste pour la régularité des solutions de problèmes d'évolution à exposants variables et hétérogènes issus de l'élasticité non linéaire et de domaines connexes. Les auteurs ne proposent pas de nouvelles applications expérimentales, mais fournissent plutôt le fondement théorique (existence et estimations de régularité) nécessaire à l'analyse de tels modèles.