Résumé technique : Formulations serrées pour l'engagement unitaire avec différents niveaux de détails – Partie I

1. Énoncé du problème

Le problème de l'engagement unitaire (Unit Commitment - UC) est un défi critique de programmation linéaire en nombres entiers mixtes (MILP) dans la gestion des systèmes électriques, visant à déterminer le programme opérationnel optimal des générateurs (thermiques, nucléaires, renouvelables, etc.) sur un horizon à court terme (typiquement 24–48 heures). Le problème consiste à minimiser les coûts opérationnels du système tout en satisfaisant la demande et en respectant les contraintes spécifiques aux unités, telles que les limites de rampe, les temps de montée/descente minimaux, ainsi que les capacités de démarrage et d'arrêt.

Malgré son importance, le problème d'UC fait face à de graves limitations computationnelles dans les applications à grande échelle, particulièrement lorsqu'il est intégré dans des modèles d'investissement ou des cadres stochastiques/robustes. La présence de variables binaires (représentant l'état d'engagement de l'unité) provoque une croissance exponentielle de la complexité du problème. Les approches actuelles pour atténuer cela impliquent souvent :

• La réduction de la fidélité du modèle : Le regroupement d'unitnes similaires ou l'utilisation de jours représentatifs, ce qui peut introduire des erreurs en surestimant la flexibilité ou en sous-estimant les coûts.
• L'assouplissement de l'intégralité : La résolution de la relaxation de programmation linéaire (LP) au lieu de la MILP, ce qui peut conduire à des écarts d'optimalité importants et à des solutions infaisables en pratique.

Il existe un manque de vue d'ensemble claire et a priori concernant quelle formulation offre le meilleur équilibre entre serrage (l'écart entre la région réalisable de la MILP et sa relaxation LP) et taille du modèle (nombre de variables et de contraintes) pour différents types de générateurs et niveaux de détail.

2. Méthodologie

Cet article (Partie I) se concentre sur le développement théorique et l'analyse des formulations d'UC. Les auteurs adoptent l'approche méthodologique suivante :

• Classification par niveau de détail : Les auteurs catégorisent les modèles d'UC selon le nombre de variables binaires par période temporelle :
  • Modèles 1bin : Contiennent uniquement la variable d'engagement ($u_{gt}$).
  • Modèles 2bin/3bin : Incluent des variables supplémentaires pour le démarrage ($v_{gt}$) et l'arrêt ($w_{gt}$).
• Analyse de l'enveloppe convexe : L'objectif principal est d'identifier des formulations basées sur l'enveloppe convexe de la région réalisable. La formulation la plus serrée correspond à l'enveloppe convexe. Cependant, comme la recherche de l'enveloppe convexe complète nécessite souvent un nombre exponentiel de contraintes, les auteurs se concentrent sur des sous-ensembles de facettes qui :
  1. Décrivent l'enveloppe convexe (ou une approximation serrée) pour des sous-problèmes spécifiques (ex: rampes, capacités de démarrage).
  2. Maintiennent une taille de modèle similaire à la plus petite formulation valide.
• Preuves théoriques : L'article fournit de nouvelles preuves et des perspectives théoriques concernant le serrage des formulations bien connues. Il utilise des techniques telles que l'élimination de Fourier-Motzkin et la programmation disjonctive (méthode de Balas) pour dériver et vérifier les descriptions de l'enveloppe convexe pour des problèmes d'unité unique sur deux périodes.
• Limitation du champ d'application : Toutes les perspectives théoriques concernant le serrage sont dérivées pour un problème opérationnel d'unité unique, excluant la contrainte d'équilibre énergétique du système. La fonction objectif est généralement considérée comme non pertinente pour la détermination de l'enveloppe convexe, sauf indication contraire.

3. Contributions clés

L'article présente quatre contributions spécifiques, les contributions 1 et 2 étant détaillées dans la Partie I :

1. Vue d'ensemble structurée des modèles d'UC : Les auteurs présentent une taxonomie structurée des modèles d'UC avec différents niveaux de détail (allant des limites de production de base aux trajectoires de démarrage complexes). Pour chaque niveau, ils proposent des formulations spécifiques qui répondent à un compromis entre serrage et taille.
2. Perspectives et preuves théoriques :
   • Rampe : De nouvelles preuves sont fournies pour le serrage des contraintes de rampe. L'article établit que des formulations spécifiques (Modèle I-E-T) constituent l'enveloppe convexe de deux périodes pour les rampes de montée et de descente.
   • Coûts de démarrage/arrêt : L'article analyse deux formulations courantes pour modéliser les coûts de démarrage et d'arrêt (Modèle II et Modèle II-S). Il prouve que bien que le Modèle II-S possède moins de contraintes, les deux formulations définissent le même espace de solution dans la direction de la fonction objectif, ce qui les rend également serrées pour des fins d'optimisation.
   • Capacités : L'article présente les formulations d'enveloppe convexe 1bin et 3bin pour les capacités de démarrage et d'arrêt (production maximale pendant le démarrage/arrêt), prouvant que des combinaisons spécifiques de contraintes (ex: Modèle I-E2-T et Modèle II-E2) définissent l'enveloppe convexe pour des problèmes de deux périodes.
3. Comparaison des formulations : L'article compare directement différentes formulations pour un même problème (ex: 1bin vs 3bin, ou différents ensembles de facettes) afin de mettre en évidence les différences théoriques de serrage et de taille.
4. Fondation pour la Partie II : Ce travail pose les bases théoriques de la Partie II, qui compare numériquement ces modèles dans des contextes d'investissement et d'exploitation à grande échelle.

4. Résultats et formulations

L'article définit plusieurs modèles spécifiques, allant du basique à l'étendu :

• Niveau I (Modèles 1bin) :

  • Modèle I : Limites de production de base. Prouvé comme étant la formulation la plus serrée pour son champ d'application.
  • Modèle I-E : Ajoute les contraintes de rampe.
  • Modèle I-E-T : Une version plus serrée du Modèle I-E incluant des facettes additionnelles pour les rampes de montée/descente. Prouvé comme étant l'enveloppe convexe de deux périodes.
  • Modèle I-E2 : Inclut les rampes et les capacités de démarrage/arrêt.
  • Modèle I-E2-T : La version la plus serrée, prouvée comme étant l'enveloppe convexe de deux périodes pour les rampes et les capacités.

• Niveau II (Modèles 3bin) :

  • Modèle II : Inclut les variables et les coûts de démarrage/arrêt. Prouvé comme étant la formulation la plus serrée pour ce champ d'application.
  • Modèle II-S : Une formulation alternative utilisant des variables de coût continues au lieu de variables de démarrage binaires. Le Théorème III.4 prouve qu'il est aussi serré que le Modèle II dans la direction de la fonction objectif, bien qu'il définisse une enveloppe convexe non bornée sans la contrainte de borne supérieure $u_t \leq 1$.
  • Modèle II-E : Ajoute les contraintes de temps de montée/descente minimum. Prouvé comme étant la formulation la plus serrée pour ce champ d'application (taille linéaire).
  • Modèle II-E2 : Le modèle 3bin le plus détaillé, incorporant les rampes, les capacités de démarrage/arrêt et les temps de montée/descente minimum. Le Théorème III.5 prouve qu'il définit l'enveloppe convexe pour deux périodes.
  • Modèle II-E3 : Étend le Modèle II-E2 pour inclure les trajectoires de démarrage et d'arrêt (rampes multi-périodes pour atteindre la production minimale), prouvé comme définissant l'enveloppe convexe de deux périodes.

Principales conclusions théoriques :

• Pour les problèmes d'unité unique, les relaxations LP des Modèles I, II et II-E décrivent l'enveloppe convexe de leurs espaces réalisables respectifs.
• Pour les problèmes de deux périodes, les Modèles I-E-T, I-E2-T et II-E2 décrivent l'enveloppe convexe.
• L'assouplissement de l'intégralité des variables de démarrage/arrêt (de binaire à continu) ne change pas l'ensemble réalisable du MIP, mais les solveurs modernes peuvent bénéficier du maintien de ces variables en tant qu'entiers pour les stratégies de branchement.
• Les modèles 3bin peuvent être réécrits en modèles 2bin (en éliminant la variable d'arrêt) sans perdre de serrage, bien que le nombre de contraintes puisse varier.

5. Signification et affirmations

L'article affirme que sa principale importance réside dans la fourniture d'un cadre structuré et théoriquement fondé pour la sélection des formulations d'UC. En définissant des modèles avec différents niveaux de détail et en prouvant leurs propriétés de serrage, les auteurs permettent aux modélisateurs de :

• Sélectionner le niveau de détail le plus approprié pour des générateurs spécifiques ou des échelles de problèmes données sans sacrifier inutilement l'efficacité computationnelle.
• Comprendre les compromis entre la taille du modèle et le serrage a priori, plutôt que de s'appuyer uniquement sur des tests computationnels a posteriori qui peuvent dépendre du solveur et ne pas être généralisables.
• Incorporer des détails opérationnels de haute fidélité dans des modèles d'investissement à grande échelle (comme démontré dans la Partie II) tout en restant dans les limites computationnelles.

Les auteurs soulignent que, bien que la recherche de l'enveloppe convexe complète soit souvent intraitable en raison de la croissance exponentielle, leurs formulations proposées offrent le "meilleur" équilibre en utilisant des sous-ensembles de facettes qui sont de taille similaire aux plus petites formulations valides, mais nettement plus serrées que les relaxations standards. Ce travail vise à guider la sélection de modèles d'UC qui sont à la fois efficaces sur le plan computationnel et assez précis pour éviter la surestimation de la flexibilité du système et la sous-estimation des coûts, problèmes souvent rencontrés dans les modèles d'investissement simplifiés.