Actions of $(\mathbb{Z}/4)^4$ on rationally connected threefolds

Résumé technique : Actions de $(\mathbb{Z}/4)^4$ sur les troissembles rationnellement connexes

Énoncé du problème
L'article traite de la classification des sous-groupes abéliens finis agissant fidèlement sur des troissembles rationnellement connexes sur les nombres complexes $\mathbb{C}$. Plus précisément, il étudie le groupe $G = (\mathbb{Z}/4)^4$. Bien que les sous-groupes finis du groupe de Cremona $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$ (automorphismes birationnels de $\mathbb{P}^3$) ne soient pas entièrement classifiés, l'étude des actions sur la classe plus large des variétés rationnellement connexes est motivée par le fait que de telles actions ne s'injectent pas nécessairement dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$ si la variété n'est pas rationnelle. Des travaux antérieurs ont identifié des groupes simples non abéliens (par exemple, $\text{PSL}_2(\mathbb{F}_{11})$) et des groupes non abéliens (par exemple, $S_7$) qui agissent sur des troissembles rationnellement connexes mais ne s'injectent pas dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$. L'article cherche à déterminer si le groupe abélien $(\mathbb{Z}/4)^4$ partage cette propriété et à établir des bornes précises pour l'injection de groupes de la forme $(\mathbb{Z}/m)^r$ dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$ par rapport à $\text{Bir}(X)$ pour un $X$ rationnellement connexe.

Méthodologie
Les auteurs emploient le Programme du Modèle Minimal (MMP) équivariant et la théorie des variétés $G\mathbb{Q}$-factorielles. La stratégie procède par plusieurs étapes :

1. Réduction aux troissembles Fano : En utilisant le MMP équivariant, toute troissemble rationnellement connexe $X$ possédant une action fidèle de $G$ est montrée comme étant $G$-birationnelle à une troissemble Fano $G\mathbb{Q}$-terminale $X'$. L'article exclut le cas où $X'$ est un espace de fibré de Mori sur une base de dimension positive, car cela impliquerait que $G$ est de « type produit », ce qui n'est pas le cas de $(\mathbb{Z}/4)^4$.
2. Analyse du système anticanonique : Les auteurs distinguent les cas Gorenstein et non Gorenstein pour la troissemble Fano $X$.
   • Cas Gorenstein : Si $|-K_X| \neq \emptyset$, l'existence d'un diviseur anticanonique $G$-invariant $S$ est établie. $S$ est montrée comme étant une surface K3 lisse. L'action de $G$ sur $S$ induit une suite $1 \to C \to G \to H \to 1$, où $C$ est cyclique et $H$ agit fidèlement sur $S$. En analysant les réseaux invariants des surfaces K3 et la théorie des représentations (spécifiquement, les restrictions sur les sous-groupes de $\text{PGL}_4(\mathbb{C})$ et $\text{Aut}(Q)$), les auteurs éliminent des candidats tels que $\mathbb{P}^3$, les doubles solides quartiques et les doubles revêtements de quadriques. Cela restreint $X$ à une hypersurface quartique lisse dans $\mathbb{P}^4$ ou à une troissemble Fano première de genre 9. Des arguments de réseau supplémentaires éliminent le cas de genre 9, ne laissant que la quartique lisse.
   • Cas non Gorenstein : Si $|-K_X| = \emptyset$, les auteurs utilisent la formule de Riemann-Roch pour les orbifolds de Reid et le panier de singularités de Reid. En combinant les conditions de divisibilité sur les longueurs d'orbite (dérivées de la structure de $(\mathbb{Z}/4)^4$) avec une congruence du caractéristique d'Euler équivariante sur une résolution, ils dérivent une contradiction, prouvant qu'aucune troissemble $G\mathbb{Q}$-Fano terminale non Gorenstein n'admet une telle action.
3. Identification de l'équation : Pour le cas survivant (la quartique lisse), les auteurs analysent le système linéaire $|-K_X|$ et la représentation induite sur $H^0(X, -K_X)$. Ils démontrent que la seule quartique lisse admettant une action fidèle de $(\mathbb{Z}/4)^4$ est la quartique de Fermat $x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4 = 0$, avec l'action diagonale standard.
4. Extension à $(\mathbb{Z}/m)^r$ : L'article étend ces résultats à des groupes généraux $(\mathbb{Z}/m)^r$ en analysant les composantes primaires et en utilisant des bornes sur le nombre de générateurs pour les sous-groupes abéliens $p$-adiques dans $\text{Bir}(X)$ (basées sur les résultats de Kollár et Zhuang). Un argument spécifique exclut $(\mathbb{Z}/6)^4$ en montrant qu'il nécessiterait une troissemble Fano non Gorenstein avec des multiplicités de panier impossibles.

Contributions principales et résultats

• Théorème principal (Théorème 1.3) : Si $X$ est une troissemble rationnellement connexe avec une action fidèle de $G = (\mathbb{Z}/4)^4$, alors $X$ est $G$-birationnelle à la quartique de Fermat $X_4$. Si $X$ est une troissemble $G\mathbb{Q}$-Fano terminale, cette application birationnelle est un isomorphisme.
• Non-injectivité (Corollaire 1.4) : Le groupe $(\mathbb{Z}/4)^4$ ne s'injecte pas dans le groupe de Cremona $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$. Ceci est dû au fait que la quartique de Fermat est non rationnelle (un résultat connu d'Iskovskikh et Manin), et toute injection dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$ impliquerait une birationalité avec $\mathbb{P}^3$.
• Groupe d'automorphismes maximal : L'article confirme que le groupe d'automorphismes de la quartique de Fermat est $\Gamma = (\mathbb{Z}/4)^4 \rtimes S_5$, ce qui est l'ordre maximal possible pour une quartique lisse. Par conséquent, $\text{Bir}(X_4) = \text{Aut}(X_4) = \Gamma$.
• Classification de $(\mathbb{Z}/m)^r$ (Théorème 1.7) : L'article fournit une classification complète des paires $(m, r)$ pour lesquelles le groupe $(\mathbb{Z}/m)^r$ s'injecte dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$ et dans $\text{Bir}(X)$ pour un $X$ rationnellement connexe :
  • Dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$ :
    • $m=2, r \le 6$
    • $m=3, r \le 4$
    • $m \ge 4, r \le 3$
  • Dans $\text{Bir}(X)$ (rationnellement connexe) :
    • $m=2, r \le 6$
    • $m \in \{3, 4\}, r \le 4$
    • $m \ge 5, r \le 3$
• Unicité de $(\mathbb{Z}/4)^4$ : Parmi les groupes de la forme $(\mathbb{Z}/m)^r$, le groupe $(\mathbb{Z}/4)^4$ est l'exemple unique qui s'injecte dans $\text{Bir}(X)$ pour une certaine troissemble rationnellement connexe mais échoue à s'injecter dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$.

Signification
L'article affirme fournir une classification complète des paires $(m, r)$ pour lesquelles le groupe $(\mathbb{Z}/m)^r$ s'injecte dans le groupe de Cremona $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$ et dans le groupe des automorphismes birationnels d'une troissemble rationnellement connexe. En établissant $(\mathbb{Z}/4)^4$ comme le groupe abélien unique de cette forme qui agit fidèlement sur une troissemble rationnellement connexe sans s'injecter dans $\text{Cr}_3(\mathbb{C})$, ce travail comble une lacune dans la compréhension des sous-groupes abéliens finis en dimension trois. Il complète les classifications antérieures de groupes simples et de groupes non abéliens, solidifiant la trichotomie des actions de groupes abéliens finis (type produit, type K3, et le cas exceptionnel Fano) proposée par la littérature antérieure. Le résultat repose sur la superrigidité birationnelle de la quartique de Fermat et sur les contraintes spécifiques imposées par la structure du groupe sur la géométrie des troisembles Fano.