On the role of positivity preservation for high order approximations of the Dean--Kawasaki equation

Résumé technique : Préservation de la positivité dans les approximations d'ordre élevé de l'équation de Dean–Kawaki

Énoncé du problème
L'équation de Dean–Kawaki décrit l'évolution de la mesure empirique de $N$ particules browniennes indépendantes. Bien qu'elle soit exacte au niveau microscopique en tant que solution de martingale pour une mesure aléatoire atomique, elle est trop singulière pour être interprétée comme une SPDE (équation différentielle stochastique aux dérivées partielles) à valeurs de densité en raison du coefficient de bruit de racine carrée non lipschitzien et de la supercriticité d'échelle. Pour approximer le système de particules par un modèle continu, une régularisation est nécessaire.

Un défi critique dans cette approximation est la préservation de la positivité. Puisque la densité empirique doit être non négative, une approximation numérique ou analytique idéale devrait préserver cette propriété. Cependant, les méthodes d'ordre élevé existantes font face à un compromis :

1. Les approches par différences finies (ex. [CF23, CF21]) atteignent une convergence faible d'ordre élevé dans les régimes de haute densité mais échouent à préserver la positivité en raison de la nature non locale de l'opérateur divergence, permettant aux solutions de prendre des valeurs négatives.
2. Les approches préservant la positivité (ex. [DKP24, DJP26]) tronquent le bruit ou régularisent la singularité pour garantir la non-négativité, mais souffrent de taux de convergence plus faibles ou nécessitent une forte troncature du bruit qui limite la qualité de l'approximation.

Cet article étudie l'impact spécifique de la violation de la préservation de la positivité sur l'erreur d'approximation faible, particulièrement dans les régimes de faible densité où la densité initiale peut s'annuler localement. Il demande si des approximations ne préservant pas la positivité peuvent atteindre des taux de convergence superpolynomiaux et comment l'erreur se comporte lorsque la densité initiale n'est pas bornée loin de zéro.

Méthodologie
Les auteurs analysent une régularisation spectrale de l'équation de Dean–Kawaki :
$$du_t = \frac{1}{2}\Delta u_t dt + \frac{1}{\sqrt{N}} \nabla \cdot \left( K_\varepsilon * (f(u_t^+) dW_t) \right)$$
où $K_\varepsilon$ est un noyau de convolution avec une transformée de Fourier à support compact, et $f$ imite le bruit de racine carrée (par exemple $f(x)=\sqrt{x}$). Contra cas des schémas préservant la positivité précédents, le processus de Wiener $W$ n'est pas tronqué, et la régularisation spectrale agit sur l'ensemble du coefficient de bruit. Ce choix permet à la solution $u_t$ de prendre des valeurs négatives, brisant ainsi la préservation de la positivité, mais offre l'avantage de déplacer la régularisation vers la fonction de test via la convolution, exploitant la régularité de la fonction de test.

L'analyse repose sur :

1. La dualité avec l'équation de Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) : Extension du résultat de dualité de [KLvR19] à des fonctions de test à valeurs complexes pour relier la fonction génératrice des moments de la solution de la SPDE à la solution d'une équation de Kolmogorov reculée de dimension infinie.
2. L'analyse de la transformée de Laplace : Mesure de l'erreur faible via la différence des transformées de Laplace, $|E[e^{\langle u_t, \phi \rangle}] - E[e^{\langle \mu_t, \phi \rangle}]|$, qui contrôle les moments de tous ordres via la formule intégrale de Cauchy.
3. Décomposition de l'erreur : L'erreur totale est décomposée en erreur d'approximation initiale, erreur de coupure de Fourier, et un terme d'erreur provenant spécifiquement de la partie négative de la solution ($u_t^-$).
4. Construction d'une borne inférieure : Un exemple spécifique en une dimension est construit où la densité initiale s'annule sur un sous-intervalle pour dériver une borne inférieure sur l'erreur d'approximation, démontrant les limites des schémas ne préservant pas la positivité.

Contributions clés et résultats

1. Bornes d'erreur faible uniformes dans le temps :
   L'article établit une borne d'erreur faible uniforme dans le temps mesurée par la transformée de Laplace. La borne d'erreur se compose de trois composantes :

   • Erreur d'approximation initiale.
   • Erreur de coupure de Fourier (dépendante de la résolution spectrale $\varepsilon$).
   • Erreur de la partie négative : Un terme proportionnel à la probabilité et à l'amplitude de la prise de valeurs négatives par la solution.

2. Régime de haute densité ($\rho_{\min} > 0$) :
   Lorsque la densité initiale est bornée loin de zéro ($\rho_0 \ge \rho_{\min} > 0$), la partie négative de la solution est exponentiellement supprimée. Par conséquent, l'approximation spectrale atteint un taux de convergence superpolynomial pour les fonctions de test lisses ($\phi \in C^\infty$). Spécifiquement, avec un choix optimal de $\varepsilon \sim N^{-1/d}(\log N)^{3/d}$, l'erreur décroît en $O(N^{-1-\alpha/d}(\log N)^{3\alpha/d})$ pour tout $\alpha > 0$. Ce résultat tient malgré l'absence de préservation stricte de la positivité, à condition que la densité soit suffisamment élevée par rapport à la force du bruit.

3. Régime de faible densité ($\rho_{\min} = 0$) :
   Lorsque la densité initiale est autorisée à s'annuler, la suppression exponentielle de la partie négative disparaît. La borne supérieure se détériore pour devenir un taux polynomial : $O(N^{-(3\alpha+d)/(2\alpha+d)})$.
   Crucialement, les auteurs fournissent une borne inférieure pour un exemple en une dimension avec $\rho_{\min}=0$. Ils prouvent que l'erreur faible ne peut pas décroître de manière superpolynomiale dans ce régime. La partie négative de la solution devient relativement importante, dominant les fluctuations et limitant la qualité de l'approximation. Cela suggère que, dans les régions de faible densité, les approximations ne préservant pas la positivité sont intrinsèquement limitées en précision.

4. Comparaison avec les méthodes existantes :

   • En dimensions $d=1, 2$, la borne supérieure pour le schéma ne préservant pas la positivité dans le régime de faible densité est moins bonne que celle de l'approximation SPDE préservant la positivité de [DKP24].
   • Les résultats suggèrent que des schémas hybrides (combinant des approximations spectrales d'ordre élevé dans les régions de haute densité avec des méthodes basées sur les particules ou préservant la positivité dans les régions de faible densité) pourraient être la stratégie la plus efficace.

5. Validation numérique :
   Les expériences numériques confirment les conclusions théoriques. Les simulations montrent que :

   • Dans les régimes de haute densité, l'approximation de Galerkin spectrale présente une convergence superpolynomiale pour les observables lisses.
   • Dans les régimes de faible densité, la probabilité que la solution devienne négative augmente significativement, corrélant avec les bornes inférieures théoriques sur l'erreur.
   • La perte de positivité est rare quand $\rho_{\min}$ est grand, mais fréquente quand $\rho_{\min} \approx 0$.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir la première analyse des approximations ne préservant pas la positivité pour l'équation de Dean–Kawaki permettant des densités initiales faibles. Sa principale signification réside dans la quantification du coût de la violation de la préservation de la positivité :

• Il démontre que la préservation de la positivité est essentielle pour atteindre des taux de convergence super polynomiaux lorsque la densité initiale s'annule.
• Il clarifie que si la régularisation spectrale peut atteindre une précision d'ordre élevé dans les régimes de haute densité sans positivité stricte, les « excursions négatives » de la solution deviennent une source d'erreur dominante dans les régions de faible densité, empêchant la convergence superpolynomiale.
• Le travail se distingue des approches de dimension finie (comme [CF23]) en utilisant la structure markovienne de dimension infinie et la dualité avec l'équation HJB, permettant des bornes d'erreur uniformes dans le temps et le traitement de fonctions de test à valeurs complexes.

Les auteurs restent modestes quant à l'universalité de ces résultats, notant que la borne inférieure est dérivée d'un exemple spécifique en une dimension et que l'interaction entre les particules ou les potentiels externes (qui peuvent créer des régions de faible densité dynamiquement) nécessite des études plus approfondies, bien que l'analyse actuelle fournisse une compréhension fondamentale des limites de l'approximation dans de tels scénarios.