Unirationality is the same thing as Rational Connectedness in Characteristic Zero

Résumé technique : Unirationalité et connexité rationnelle en caractéristique zéro

Énoncé du problème
L'article traite d'une question fondamentale en géométrie algébrique concernant la relation entre l'unirationalité et la connexité rationnelle pour les variétés projectives lisses sur un corps $k$ de caractéristique zéro. S'il est bien établi que les variétés rationnelles sont unirationnelles, et que les variétés unirationnelles sont rationnellement connexes (et rationnellement chaînées), les implications inverses ont été historiquement subtiles.

• L'unirationalité est définie par l'existence d'une application rationnelle dominante, génériquement finie, $\mathbb{P}^n_k \dashrightarrow Z$.
• La connexité rationnelle est définie par l'existence d'une application rationnelle dominante $\mathbb{P}^1_k \times M \dashrightarrow Z$ telle que l'application induite sur les paires est dominante.
• La connexité rationnelle par chaînes exige que deux points quelconques soient connectés par une chaîne de courbes rationnelles.

En caractéristique zéro, les variétés lisses rationnellement connexes par chaînes sont rationnellement connexes. Cependant, la question demeure de savoir si toute variété rationnellement connexe est unirationnelle. Des contre-exemples antérieurs, tels que la cubique lisse de dimension trois (Clemens-Griffiths), ont démontré que l'unirationalité n'implique pas la rationalité (être birationnelle à $\mathbb{P}^n$). L'article cherche à déterminer si la condition plus faible de connexité rationnelle est équivalente à l'unirationalité dans le cadre projectif lisse sur un corps de caractéristique zéro, se distinguant ainsi de la condition plus forte de rationalité.

Méthodologie
L'auteur emploie la théorie de la fibration MRC (Maximal Rationally Connected), établie originellement par Campana, Kollár, Miyaoka et Mori. La stratégie centrale consiste à construire une variété intermédiaire spécifique, notée $MU(X)$, pour combler le fossé entre la variété $X$ et son quotient MRC.

1. Construction de $MU(X)$ : L'article prouve l'existence d'une variété $MU(X)$ munie d'applications rationnelles $\pi: X \dashrightarrow MU(X)$ et $\lambda: MU(X) \dashrightarrow MRC(X)$ satisfaisant trois conditions :

   • La composition $\lambda \circ \pi$ retrouve la fibration MRC $\nu: X \dashrightarrow MRC(X)$.
   • Les fibres très générales de $\pi$ sont unirationnelles.
   • Les fibres très générales de $\lambda$ sont rationnellement connexes mais non unirationnelles.

2. Argument inductif : La preuve utilise une induction sur la dimension de la variété. L'auteur établit que si $X$ est rationnellement connexe, alors $MRC(X)$ est un point (spécifiquement $\text{Spec}(k)$). Par conséquent, $MU(X)$ devient la fibre très générale de $\lambda$.

   • Si $MU(X)$ possède une dimension positive, l'hypothèse de récurrence (appliquée aux variétés rationnellement connexes de dimension inférieure) impliquerait que $MU(X)$ est unirationale.
   • Cependant, par construction, les fibres de $\lambda$ ne sont pas unirationnelles.
   • Cette contradiction force $MU(X)$ à être un point, impliquant que les fibres de $\pi$ (qui sont $X$ lui-même dans ce cas) doivent être unirationales.

3. Application du lemme de Zorn : Pour assurer l'existence d'une fibration unirationale « maximale », l'auteur ordonne l'ensemble des applications rationnelles à fibres unirationales par l'inclusion de leurs corps de fonctions. En utilisant le lemme de Zorn, l'auteur démontre l'existence d'un élément unique maximal (à équivalence birationnelle près), qui sert de $MU(X)$.

Contributions clés et résultats

• Théorème d'équivalence : Le résultat principal (Théorème 9) prouve que pour toute variété projective lisse $X$ sur un corps $k$ de caractéristique zéro, les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. $X$ est unirationale.
  2. $X$ est rationnellement connexe.
  3. $X$ est rationnellement connexe par chaînes.
     Note : Cette équivalence tient spécifiquement pour la relation entre l'unirationalité et la connexité rationnelle, se distinguant de la propriété de rationalité. L'article reconnaît que des variétés peuvent être unirationales et rationnellement connexes sans être rationnelles (par exemple, la cubique lisse de dimension trois).
• Existence de la fibration unirationale maximale : L'article établit l'existence et l'unicité (à équivalence birationnelle près) d'une fibration unirationale maximale $\pi: X \dashrightarrow MU(X)$ pour toute variété projective lisse $X$.
• Décomposition structurelle : L'auteur fournit une décomposition structurelle de toute variété projective lisse $X$ en une séquence de fibrations où la « partie unirationale » est séparée de la « partie rationnellement connexe non unirationale ». Plus précisément, il montre que si le quotient MRC est trivial, la variété elle-même doit être unirationale.

Signification et affirmations
L'article prétend résoudre l'équivalence de l'unirationalité et de la connexité rationnelle pour les variétés projectives lisses en caractéristique zéro. L'auteur note que si la connexité rationnelle est souvent plus facile à vérifier que l'unirationalité (par exemple, via l'existence de courbes très libres), ce résultat établit que, pour les variétés projectives lisses en caractéristique zéro, les deux notions sont identiques.

Le travail repose sur la machinerie de la fibration MRC et sur la lissité générique en caractéristique zéro. Il distingue explicitement ses résultats du cas de la caractéristique positive, où des conditions de séparabilité sont requises, et de la question de la rationalité (où des contre-exemples comme la cubique de dimension trois existent). L'article ne prétend pas résoudre le problème de la rationalité, mais clarifie la hiérarchie entre l'unirationalité et la connexité rationnelle, montrant que cette dernière implique la première dans le contexte spécifié.