Brinkman's term for the steady-state Navier-Stokes equations with prescribed flux rate or pressure drop in perforated pipes

Résumé Technique : Homogénéisation des équations de Navier-Stokes en régime stationnaire dans des conduites perforées avec conditions aux limites mixtes

Énoncé du Problème
Ce travail étudie le comportement asymptotique du mouvement stationnaire d'un fluide visqueux et incompressible à l'intérieur d'une conduite déformée contenant un grand nombre de petites particules solides. Le domaine $\Omega_\varepsilon$ est un sous-ensemble perforé d'un domaine borné et admissible $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, obtenu en retirant $N(\varepsilon)$ particules de diamètre $\varepsilon^3$ séparées par une distance mutuelle $\varepsilon$. Cette configuration correspond au régime critique ($\alpha = 3$) dans la théorie de l'homogénéisation, où la taille des particules évolue proportionnellement au cube de la distance inter-particulaire.

L'écoulement du fluide est régi par les équations de Navier-Stokes en régime stationnaire avec des conditions aux limites mixtes. Plus précisément :

1. Des conditions de non-glissement sont imposées sur les parois physiques de la conduite ($\Gamma_W$) et sur les surfaces des particules ($\partial K_n^\varepsilon$), où les particules peuvent se déplacer avec des vitesses constantes prescrites $\mu_n^\varepsilon$.
2. Des conditions de pression de Bernoulli sont appliquées à l'entrée ($\Gamma_I$) et à la sortie ($\Gamma_O$). Celles-ci impliquent la dérivée normale de la vitesse et la pression de Bernoulli ($\Phi = p + \frac{1}{2}|u|^2$).
3. Deux scénarios distincts sont analysés :
   • Flux net prescrit : Le flux total $F$ à la sortie est fixé, tandis que la chute de pression est une constante inconnue déterminée par la solution.
   • Chute de pression prescrite : La chute de pression entre l'entrée et la sortie est fixée, tandis que le flux résultant est une quantité inconnue.

Le principal défi mathématique réside dans la dérivation des équations effectives (homogénéisées) pour la limite quand $\varepsilon \to 0$ sans imposer d'hypothèses de petitesse sur la force externe, le taux de flux ou la chute de pression. Cela est compliqué par le fait que les estimations d'énergie standards pour les équations de Navier-Stokes ne parviennent souvent pas à fournir des bornes uniformes dans ces problèmes de valeurs limites aux conditions mixtes sans contraintes supplémentaires.

Méthodologie
Les auteurs utilisent la méthode de l'énergie dans le cadre de la théorie de l'homogénéisation, suivant la stratégie générale de Tartar. La preuve se déroule en trois étapes principales :

1. Bornes uniformes (estimations indépendantes de $\varepsilon$) :
   L'établissement de bornes uniformes pour les solutions $(u_\varepsilon, \Phi_\varepsilon)$ est l'étape la plus critique et la plus novatrice. Contraquirement aux cas standards où de simples estimations d'énergie suffisent, les auteurs ne peuvent pas se reposer uniquement sur le test de l'équation de quantité de mouvement avec la solution elle-même en raison des conditions aux limites mixtes et de la chute de pression inconnue.

   • Au lieu de cela, ils utilisent un argument de contradiction basé sur la loi de Bernoulli pour les solutions des équations d'Euler stationnaires.
   • Ils supposent que les normes des solutions divergent lorsque $\varepsilon \to 0$, normalisent la séquence et montrent que la limite satisfait les équations d'Euler.
   • En analysant le comportement aux limites de la pression de Bernoulli limite sur les parois de la conduite (en utilisant des résultats de régularité locale et la géométrie spécifique de l'entrée/sortie), ils démontrent que la pression limite doit être constante sur les parois. Cela conduit à une contradiction avec les conditions de flux ou de chute de pression, prouvant ainsi le caractère borné de la séquence.
   • Pour le problème du flux prescrit, une hypothèse géométrique supplémentaire est faite afin que les particules ne s'accumulent pas près des cylindres d'entrée et de sortie, afin de faciliter l'analyse de la limite de la pression aux frontières.

2. Construction de correcteurs et d'opérateurs de restriction :
   Pour traiter le domaine perforé, les auteurs construisent des correcteurs de Stokes $(\omega_{n,1}^\varepsilon, \omega_{n,2}^\varepsilon)$ à l'extérieur des particules et dans les régions annulaires les entourant. Ces correcteurs sont utilisés pour définir un opérateur de restriction $R_\varepsilon$.

   • Contrairement aux travaux précédents dans le régime sous-critique où des correcteurs capacitaires scalaires suffisaient, le régime critique nécessite ces correcteurs de Stokes vectoriels pour rendre compte de la capacité relative non nulle de l'essaim de particules.
   • L'opérateur de restriction $R_\varepsilon(\phi)$ projette les fonctions tests du domaine homogénéisé $\Omega$ vers le domaine perforé $\Omega_\varepsilon$ en modifiant ces dernières au voisinage des particules pour satisfaire les conditions aux limites nulles, tout en préservant la propriété de divergence nulle.

3. Passage à la limite :
   En utilisant les bornes uniformes et l'opérateur de restriction, les auteurs passent à la limite dans la formulation faible des équations de Navier-Stokes.

   • Le terme convectif non linéaire converge via une convergence forte dans $L^4$ (garantie par les bornes uniformes et les plongements compacts).
   • L'interaction entre le fluide et les particules génère un terme supplémentaire dans l'équation limite. Ce terme provient du comportement limite de la somme des forces de traînée exercées par les particules, caractérisée par les matrices de résistance de Stokes $G_n$.

Contributions Clés et Résultats
L'article établit deux théorèmes principaux (Théorèmes 2.4 et 2.5) décrivant la limite homogénéisée du système :

• Émergence du terme de Brinkman : Les équations homogénéisées dans le domaine limite $\Omega$ sont les équations de Navier-Stokes augmentées d'un terme de Brinkman. L'équation effective prend la forme :
  $$-\Delta u + (\nabla \times u) \times u + \nabla \Phi + Gu - J = f$$
  où :

  • $Gu$ représente un terme de friction proportionnel à la vitesse du fluide $u$, issu de la traînée collective des particules (avec $G$ étant la limite de la somme scalée des matrices de résistance de Stokes).
  • $J$ est un terme source issu du flux limite des particules elles-mêmes en mouvement.
  • Les conditions aux limites sur l'entrée et la sortie restent de type mixte impliquant la pression de Bernoulli.

• Extension au régime critique avec données non nulles : Les résultats étendent les découvertes d'homogénéisation précédentes (notamment pour le régime sous-critique dans [59]) au régime critique ($\alpha=3$). Crucialement, ces résultats sont valables sans aucune hypothèse de petitesse sur la force externe, le taux de flux ou la chute de pression. Il s'agit d'une avancée significative, car de nombreux résultats d'homogénéisation pour Navier-Stokes reposent sur des hypothèses de petites données pour assurer l'unicité ou l'existence de bornes.

• Gestion des particules en mouvement : Le cadre permet d'intégrer des particules ayant des vitesses constantes non nulles $\mu_n^\varepsilon$, à condition que leur énergie cinétique soit uniformément bornée (Hypothèse 2.11). Cela permet une modélisation plus réaliste des interactions fluide-particule par rapport aux modèles de particules fixes.

Signification
L'article affirme que sa contribution la plus significative est la dérivation rigoureuse de la loi de Brinkman pour les équations de Navier-Stokes stationnaires dans le régime critique sous données non restreintes. Les auteurs soulignent que la dérivation des bornes uniformes via l'argument de contradiction impliquant la loi de Bernoulli est une question délicate, particulièrement parce que la structure complexe des perforations doit être prise en compte pour garantir que l'argument soit valide au niveau $\varepsilon$.

En construisant avec succès un véritable opérateur de restriction qui ne modifie pas les fonctions tests s'annulant sur les particules, et en gérant la convergence du terme de pression dans un contexte polydisperse avec des vitesses de particules non nulles, ce travail fournit un fondement mathématique robuste pour modéliser l'écoulement de fluides dans des conduites perforées où la densité de particules est suffisamment élevée pour induire une traînée de type Brinkman, mais pas assez pour aboutir à la loi de Darcy. Les résultats sont directement applicables à des domaines tels que l'hémodynamique, l'ingénierie pétrolière et l'aérodynamique, où l'écoulement de fluides à travers des réseaux d'obstacles solides est un phénomène fondamental.