The $5$-divisible integer group determinants for the elementary abelian group of order 25

Résumé Technique : Les déterminants de groupe d'entiers divisibles par 5 pour le groupe abélien élémentaire d'ordre 25

Énoncé du Problème
Cet article traite du problème des déterminants de groupe d'entiers de Taussky–Todd pour le groupe abélien élémentaire d'ordre 25, noté $G_5 = C_5 \times C_5$. Le problème cherche à caractériser l'ensemble $S(G)$, défini comme l'ensemble de toutes les valeurs entières prises par le déterminant de groupe $\Theta_G((x_g)_{g \in G})$ lorsque les variables $x_g$ sont restreintes aux entiers.

Alors que les valeurs de $S(G)$ premières à $p=5$ ont été déterminées précédemment par DeSilva et Pinner, la structure du sous-ensemble des valeurs divisibles par 5 est restée incomplète. Plus précisément, Mossinghoff et Pinner ont établi une condition nécessaire selon laquelle toute valeur divisible par 5 doit être divisible par $5^8$. Cependant, on ignorait si chaque multiple de $5^8$ est réellement atteignable comme valeur de déterminant de groupe. Cet article résout cette lacune en prouvant l'inclusion réciproque.

Méthodologie
La preuve repose sur une combinaison de factorisation algébrique, d'une « identité de décalage » générale et de la construction explicite de « semences » polynomiales spécifiques.

1. Factorisation et Configuration :
   Pour $G_p = C_p \times C_p$, le déterminant de groupe $\Theta_{G_p}$ est exprimé via la factorisation de Dedekind comme un produit sur les caractères. Cela est reformulé à l'aide d'un polynôme bivarié $F(x, y) \in \mathbb{Z}[x, y]$ tel que la valeur du déterminant est :
   $$M_p(F) = \prod_{i,j=0}^{p-1} F(\zeta_p^i, \zeta_p^j)$$
   où $\zeta_p = e^{2\pi i/p}$.

2. L'Identité de Décalage :
   L'outil technique central est une identité de décalage (Lemme 2.1) impliquant le polynôme $H_p(x, y) = \Phi_p(x)\Phi_p(y)$, où $\Phi_p$ est le polynôme cyclotomique $p$-ième. L'identité stipule que pour tout $F \in \mathbb{Z}[x, y]$ et tout entier $c$ :
   $$M_p(F + cH_p) = \frac{F(1, 1) + p^2 c}{F(1, 1)} M_p(F)$$
   (en supposant que $F(1,1) \neq 0$). Cette identité permet de générer de nouvelles valeurs de déterminant à partir de valeurs existantes en décalant le polynôme, augmentant ainsi efficacement la valeur du déterminant $M_p(F)$ par le facteur $\frac{F(1, 1) + p^2 c}{F(1, 1)}$ tout en préservant la structure du produit sur les caractères non triviaux.

3. Le Critère de Semence :
   S'appuyant sur l'identité de décalage, l'article propose un « Critère de Semence » (Proposition 2.2). Pour prouver que $p^{p+3}\mathbb{Z} \subseteq S(G_p)$, il suffit de trouver un ensemble de polynômes $\{F_a\}$ indexés par un ensemble $A \subset \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ qui est surjectif sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, de sorte que pour chaque $a \in A$ :

• $F_a(1, 1) = p^a$
• $M_p(F_a) = a \cdot p^{p+3}$

Si de telles semences existent, l'identité de décalage peut générer tous les multiples entiers de $p^{p+3}$.

Contributions Principales et Résultats
La principale contribution est la construction explicite des semences requises pour le cas $p=5$. L'auteur définit trois polynômes spécifiques dans $\mathbb{Z}[x, y]$ :

• $F_1(x, y) = 1 + y + y^2 + x + x^4y$
• $F_2(x, y) = 1 + y + y^2 + y^3 + x + xy + xy^2 + x^4 + x^4y + x^4y^4$
• $F_5(x, y) = H_5(x, y) - 1 - y + x + x^4$

Par réduction directe utilisant les propriétés du corps cyclotomique $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ et des calculs de norme, l'article prouve (Proposition 3.1) que ces polynômes satisfont les conditions de semence pour $a = 1, 2, 5$ :

• $M_5(F_1) = 5^8$
• $M_5(F_2) = 2 \cdot 5^8$
• $M_5(F_5) = 5^9$ (ce qui correspond à $a=5$ dans le contexte du critère de semence, car $5 \cdot 5^8 = 5^9$)

En utilisant la propriété de symétrie $M_p(-F) = -M_p(F)$, des semences pour $a = -1$ et $a = -2$ sont également obtenues. Puisque $\{1, -1, 2, -2, 5\}$ couvre toutes les classes de congruence modulo 5, le Critère de Semence est satisfait.

Théorème Principal et Corollaire
L'article établit les résultats suivants :

• Théorème 1.1 : Pour $G_5 = C_5 \times C_5$, l'ensemble des déterminants de groupe divisibles par 5 est exactement l'ensemble des multiples de $5^8$ :
  $$S(G_5) \cap 5\mathbb{Z} = 5^8\mathbb{Z}$$
• Corollaire 1.2 : En combinant cela avec la classification connue des valeurs premières à 5, l'ensemble complet des déterminants de groupe entiers pour $G_5$ est :
  $$S(G_5) = \{m \in \mathbb{Z} : m \equiv \pm 1 \text{ ou } \pm 7 \pmod{25}\} \cup 5^8\mathbb{Z}$$

Signification et Portée
L'article affirme que ce résultat, ainsi que le résultat de $S(C_{25})$ déterminé précédemment par Mossinghoff et Pinner, achève le problème des déterminants de groupe d'entiers de Taussky–Todd pour tous les groupes d'ordre 25.

L'auteur note que bien que l'identité de décalage et le critère de semence soient valides pour tout nombre premier impair $p$, l'existence des semences spécifiques satisfaisant les conditions requises est un problème distinct et difficile. L'argument présenté est spécifique à $p=5$. L'article n'affirme pas que l'inclusion $p^{p+3}\mathbb{Z} \subseteq S(C_p \times C_p)$ est vraie pour les nombres premiers $p \geq 7$, suggérant que les formules claires trouvées pour $p=3$ et $p=5$ peuvent refléter un comportement exceptionnel plutôt qu'une règle générale.