Dimension of polynomial growth harmonic functions on locally conformally flat manifolds with nonnegative Ricci curvature

Résumé technique : Dimension de l'espace des fonctions harmoniques à croissance polynomiale sur les variétés localement conformes à une métrique plate

Énoncé du problème
L'article traite de deux questions fondamentales soulevées par S.-T. Yau concernant l'espace $H_d(M)$ des fonctions harmoniques à croissance polynomiale de degré au plus $d$ sur une variété riemannienne complète $(M, g)$ à courbure de Ricci non négative ($\text{Ric} \ge 0$).

1. Finitude de la dimension : Est-ce que $\dim H_d(M) < \infty$ ? (Confirmé par Colding et Minicozzi).
2. Comparaison euclidienne exacte : Est-ce que $\dim H_d(M) \le \dim H_d(\mathbb{R}^n)$ ?

Bien que la finitude de la dimension soit établie, la comparaison euclidienne exacte (Question 2) reste ouverte pour les variétés générales à courbure non négative. Les contre-exemples de Donnelly montrent que l'inégalité échoue pour les degrés non entiers $d \in (1, 2)$ dans les dimensions $n \ge 5$. L'article examine si l'inégalité est vérifiée pour les degrés entiers $d$ sous la contrainte géométrique spécifique que $(M, g)$ est localement conforme à une métrique plate (LCF).

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison d'analyse géométrique, de théorie du potentiel et d'analyse asymptotique des facteurs conformes. La méthodologie est structurée comme suit :

1. Classification et réduction :
   En utilisant les théorèmes de classification de Zhu et Carron–Herzlich, les auteurs réduisent le problème à quatre cas pour les variétés LCF complètes et connexes avec $\text{Ric} \ge 0$ :

   • Globalement conforme à $\mathbb{R}^n$ (non plat).
   • Globalement conforme à une forme d'espace sphérique.
   • Localement isométrique au cylindre rond $\mathbb{R} \times S^{n-1}$.
   • Variétés plates.
     L'effort technique central se concentre sur le premier cas : $(M, g) = (\mathbb{R}^n, e^{2f}g_0)$ avec $\text{Ric} \ge 0$.

2. Analyse asymptotique du facteur conforme :
   L'analyse repose fortement sur les travaux de Ma et Qing concernant le comportement asymptotique du facteur conforme $f$ (où $g = e^{2f}g_0$).

   • Ils utilisent l'existence d'un exposant asymptotique $m \in [0, 1]$ tel que $\liminf_{x\to\infty} \frac{f(x)}{\ln|x|} = -m$.
   • Ils établissent une relation raffinée entre la distance intrinsèque $r(x)$ et la distance euclidienne $|x|$ : $\lim_{x\to\infty} \frac{\ln r(x)}{\ln |x|} = 1 - m$.
   • Ils relient le rapport de volume asymptotique $\beta$ à l'exposant $m$ via $\beta = (1-m)^{n-1}$.

3. Comparaison de distance et traduction de la croissance :
   Les auteurs prouvent que la croissance polynomiale intrinsèque sur $(M, g)$ se traduit par un taux de croissance spécifique par rapport à la métrique euclidienne. Si $h \in H_d(M)$, alors $|h(x)| \le C(1 + |x|)^{d(1-m+\epsilon)}$ pour de grandes valeurs de $|x|$.

4. G-convergence pondérée et blow-down :
   Un outil technique central est le développement d'un cadre de G-convergence pondérée.

   • Les auteurs définissent des métriques rescalées et des poids $P_R, Q_R$ dérivés du facteur conforme.
   • Ils prouvent un théorème de compacité (Théorème 4.2) montrant que des séquences de fonctions harmoniques rescalées convergent vers des fonctions harmoniques sur une métrique de cône limite $(\mathbb{R}^n, |y|^{-2m}g_0)$.
   • Cet opérateur limite est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un cône avec un facteur de déformation spécifique.

5. Analyse spectrale sur le cône limite :
   Les auteurs analysent le spectre de l'opérateur du cône limite. Ils déterminent les taux de croissance homogènes $\sigma_\ell$ des fonctions harmoniques sur le cône, qui satisfont une équation quadratique impliquant le paramètre $a = 1-m$.

   • Ils établissent une "propagation uniforme en une étape" (Proposition 5.4) en utilisant la log-convexité de la masse $L^2$ pondérée sur le cône.
   • Cette propagation permet de borner la dimension de l'espace des fonctions harmoniques sur la variété originale par la dimension de l'espace des fonctions harmoniques sur le cône avec une croissance strictement inférieure au prochain écart spectral.

Résultats clés

• Théorème principal : Pour une variété LCF complète non compacte $(M^n, g)$ ($n \ge 3$) avec $\text{Ric} \ge 0$, et pour tout entier $d \ge 0$ fixé :
  $$\dim H_d(M) \le \dim H_d(\mathbb{R}^n).$$
  De plus, si l'égalité est vérifiée pour un certain entier $d \ge 1$, alors $(M, g)$ est isométrique à l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$.

• Cas $\beta = 0$ (Rapport de volume asymptotique nul) :
  Si le rapport de volume asymptotique $\beta = 0$, alors $H_d(M) = \mathbb{R}$ (uniquement des fonctions constantes) pour tout $d$ fini. Ceci est prouvé en utilisant le critère de Carron sur la croissance du diamètre des sphères géodésiques et une analyse ODE des modes radiaux.

• Cas $\beta > 0$ (Croissance de volume euclidienne) :
  Si $\beta \in (0, 1)$, les auteurs prouvent la borne plus stricte :
  $$\dim H_d(M) \le \dim H_{d-1}(\mathbb{R}^n) < \dim H_d(\mathbb{R}^n).$$
  Cette inégalité stricte découle du fait que le cône limite possède un spectre de croissance "plus lent" que l'espace euclidien en raison du paramètre $m > 0$.

• Rigidité :
  L'égalité $\dim H_d(M) = \dim H_d(\mathbb{R}^n)$ pour un entier $d \ge 1$ force $m=0$, impliquant $\beta=1$ et la variété est isométrique à $\mathbb{R}^n$.

• Degrés non entiers (Remarque 6.3) :
  L'article note que la borne euclidienne exacte est également vérifiée pour les degrés non entiers ($\dim H_d(M) \le \dim H_d(\mathbb{R}^n)$), mais l'énoncé de rigidité échoue. Ils construisent des exemples de variétés LCF non plates où $\dim H_p(M) = \dim H_p(\mathbb{R}^n)$ pour des $p$ non entiers dans l'intervalle $(1, 2)$.

Signification et affirmations
L'article apporte une réponse affirmative à la seconde question de Yau (comparaison euclidienne exacte) spécifiquement pour la classe des variétés localement conformes à une métrique plate avec courbure de Ricci non négative.

• Extension de Li-Tam : Le travail est présenté comme une extension des résultats de Li et Tam sur les surfaces à courbure totale finie vers des dimensions supérieures au sein de la catégorie LCF.
• Résolution du cas entier : Il résout la question ouverte de savoir si la borne euclidienne est vérifiée pour les degrés entiers en présence de courbure non négative, un cas pour lequel des contre-exemples généraux existent pour les degrés non entiers.
• Contribution méthodologique : Le papier introduit un cadre robuste de G-convergence pondérée et d'analyse de "blow-down" adapté aux métriques conformes avec courbure de Ricci non négative, liant directement la géométrie asymptotique de la variété (via l'exposant du facteur conforme) aux propriétés spectrales des fonctions harmoniques.

Les auteurs ne prétendent pas résoudre le problème pour les variétés générales à courbure de Ricci non négative, mais établissent le résultat sous l'hypothèse structurelle forte de la confluence locale, en tirant parti de la classification spécifique et des propriétés asymptotiques disponibles dans ce cadre.