Heath-Brown identities for fractional powers of $ζ$

Résumé Technique : Identités de Heath-Brown pour les puissances fractionnaires de $\zeta$

Énoncé du Problème
L'article traite de l'estimation des sommes exponentielles impliquant des puissances fractionnaires de la fonction zêta de Riemann, spécifiquement $S_z(x, \alpha) = \sum_{n \le x} d_z(n) e(n\alpha)$, où $d_z$ est la fonction multiplicative définie par les coefficients de Dirichlet de $\zeta(s)^z$. Bien que le comportement de ces sommes soit bien compris pour les exposants entiers (par exemple, la fonction diviseur $\tau_k = d_k$ et la fonction de Möbius $\mu = d_{-1}$), le cas fractionnaire $z \in (-1, 1) \setminus \mathbb{Z}$ présente une lacune. Les méthodes classiques reposant sur la factorisation (comme $\tau_k = 1^{*k}$) échouent pour les non-entiers, et les identités existantes (telles que celles de Vaughan ou de Heath-Brown) ne s'appliquent pas directement sans modification. Des résultats partiels antérieurs, tels que la borne pour $d_{1/2}$ dans [MV, Exercice 9], ont produit un exposant intermédiaire sous-optimal de $6/7$ dans l'estimation sur les arcs mineurs, alors que les cas entiers atteignent le niveau de référence de la « qualité de Vinogradov » de $4/5$. Le problème central est de construire une identité combinatoire finie pour $\zeta(s)^{\pm a/b}$ permettant de dériver des bornes avec l'exposant optimal de $4/5$ et des pertes purement logarithmiques, sans le facteur $x^\varepsilon$.

Méthodologie
L'auteur emploie une approche à deux niveaux : une construction algébrique suivie d'une estimation analytique.

1. Construction Algébrique (Identités de type Heath-Brown) :
   L'innovation centrale est la construction d'identités finies pour $\zeta(s)^{\pm a/b}$ en utilisant la série binomiale de Newton au sein de l'algèbre des fonctions arithmétiques.

   • Pour une puissance fractionnaire $\zeta(s)^{-h/b}$, l'auteur définit un polynôme de Dirichlet tronqué $F(s) = \sum_{n \le V} d_{-h/b}(n)n^{-s}$.
   • En considérant le reste $H = 1 - \zeta(s)^h F(s)^b$, l'auteur utilise la propriété selon laquelle $H$ possède un support sur les entiers $> V$. Par conséquent, $H^K$ possède un support sur les entiers $> V^K$.
   • En substituant $H$ dans l'expansion binomiale de Newton tronquée de $(1-H)^{-1/b}$, l'auteur obtient une identité exacte pour $\zeta(s)^{-h/b}$ valable pour les coefficients $n \le V^K$.
   • L'article choisit une profondeur $K=5$ et $V = x^{1/5}$. Cela garantit que l'identité est valable pour tout $n \le x$. L'identité résultante exprime $\zeta(s)^{-h/b}$ comme une combinaison linéaire finie de convolutions impliquant $F$ et des puissances de $\zeta$. Crucialement, chaque facteur « long » dans ces convolutions est une puissance positive de $\zeta$ (la fonction constante 1), assurant la régularité, tandis que les facteurs « courts » sont bornés par 1.
   • Pour les exposants positifs $z = h/b$, l'identité est dérivée indirectement via $\zeta(s)^{h/b} = \zeta(s) \cdot \zeta(s)^{-(b-h)/b}$, préservant la régularité des facteurs longs.
   • Le cas limite $z = -1$ (la fonction de Möbius) est récupéré comme un cas particulier où l'identité dégénère en la classique identité de Heath-Brown.

2. Estimation Analytique :
   Les identités construites réduisent la somme exponentielle $S_z(x, \alpha)$ à une somme de formes multilinéaires $T_{J,L}(x, \alpha)$.

   • Décomposition Dyadique : Les variables sont localisées dans des intervalles dyadiques.
   • Dichotomie Combinatoire : Un lemme de « fenêtre ou variable longue » est appliqué. Pour toute configuration dyadique dont le produit est $P \in (x^{4/5}, x]$, soit un sous-ensemble de variables peut être regroupé dans la « fenêtre de Type II » $[x^{2/5}, x^{3/5}]$, soit une variable unique est longue ($> x^{3/10}$) tandis que le produit des autres est court ($< x^{7/10}$).
   • Estimations :
     • Type II : Des estimations bilinéaires sont appliquées lorsque la condition de la fenêtre est remplie, produisant le terme $x^{4/5}$.
     • Type I : Lorsqu'une variable lisse longue existe, la somme est traitée comme une somme de Type I. L'auteur évite l'hypothèse erronée selon laquelle les sommes de Type I pondérées par des diviseurs n'admettent que des pertes logarithmiques. Au lieu de cela, une stratégie à deux plages est utilisée :
       • Pour $q \le x^{3/10}$ et $q \ge x^{7/10}$, une estimation de Type I par moyenne quadratique est utilisée.
       • Pour la plage intermédiaire $x^{3/10} < q < x^{7/10}$, une estimation ponctuelle avec une perte $x^{o(1)}$ est utilisée. L'écart entre $x^{7/10}$ et la cible $x^{4/5}$ absorbe cette perte, garantissant que la borne finale conserve l'exposant $4/5$ avec seulement des facteurs logarithmiques.

Résultats Clés

1. Bornes sur les Arcs Mineurs (Théorèmes 1.1 & 1.3) :
   Pour toute fraction réduite $a/b$ avec $0 < a/b < 1$, et pour $z = \pm a/b$, l'article prouve :
   $$\sum_{n \le x} d_{\pm a/b}(n) e(n\alpha) \ll_{a,b} \left( \frac{x}{\sqrt{q}} + x^{4/5} + \sqrt{xq} \right) (\log 2x)^C$$
   pour $|\alpha - r/q| \le 1/q^2$.

   • Cette borne est établie sans perte $x^\varepsilon$, correspondant à la forme de l'estimation de Vinogradov pour la fonction de von Mangoldt et aux bornes connues pour les puissances entières.
   • Le Théorème 1.3 étend cela au cas limite $z = -1$ (fonction de Möbius) avec une constante absolue, affinant les estimations précédentes en supprimant le $\varepsilon$.

2. Expansion sur les Arcs Majeurs (Théorème 1.5) :
   Pour $z$ réel tel que $0 < |z| < 1$, l'article fournit une expansion de $S_z(x, \alpha)$ sur les arcs majeurs avec une précision logarithmique arbitraire. Le terme principal implique des facteurs locaux $g_z(q)$ (généralisant la série singulière) et des coefficients dérivés de la méthode de Selberg-Delange. Le terme d'erreur est $O(x (\log x)^{-A})$ pour tout $A > 0$, bien que la constante impliquée soit inefficace en raison de la dépendance au théorème de Siegel-Walfisz.

3. Bornes Uniformes et Moments (Théorèmes 1.6 & 1.7) :

   • Suprémum : L'article détermine l'ordre de grandeur de $\sup_\alpha |S_z(x, \alpha)|$. Pour $z > 0$, le supremum est atteint à $\alpha=0$ et est asymptotique à la valeur moyenne. Pour $z < 0$, l'annulation réduit le supremum d'un facteur $(\log x)^{1+|z|}$ par rapport à la norme $\ell^1$.
   • Moments : Pour $z \in (-1, 1)$ rationnel et $s > 2$ réel, l'article prouve une formule asymptotique pour les moments $\int_0^1 |S_z(x, \alpha)|^s d\alpha$. Le terme principal est déterminé par une série singulière impliquant $g_z(q)$, analogue au résultat de Pandey pour les fonctions diviseurs entières. La restriction $s > 2$ est nécessaire car la série singulière diverge à $s=2$.

Signification et Revendications
L'article prétend combler l'écart entre les puissances entières et fractionnaires de la fonction zêta dans le contexte des sommes exponentielles. Sa signification primaire réside dans :

• Optimalité : Atteindre l'exposant $x^{4/5}$ pour les puissances fractionnaires, ce qui était auparavant une question ouverte et seulement connu pour des cas spécifiques avec des bornes plus faibles.
• Efficacité : Éliminer la perte $x^\varepsilon$, ce qui est crucial pour les applications nécessitant des termes d'erreur précis (par exemple, dans la méthode du cercle).
• Nouveauté Algébrique : La construction d'identités de Heath-Brown finies pour les puissances fractionnaires via les séries binomiales de Newton et des arguments de support, fournissant un nouvel outil algébrique pour traiter les exposants non entiers dans l'algèbre des fonctions arithmétiques.
• Effectivité : Les bornes sur les arcs mineurs et la construction des identités sont pleinement effectives. L'ineffectivité dans les applications sur les arcs majeurs est explicitement attribuée au théorème de Siegel-Walfisz, une limitation standard dans ce domaine, et non à la nouvelle machinerie.

L'auteur souligne que la restriction aux exposants rationnels est essentielle pour la construction algébrique (car elle repose sur la racine $b$-ième d'une puissance entière) et que la restriction $|z| \le 1$ garantit que les coefficients courts restent bornés par 1. L'article ne prétend pas étendre ces résultats aux exposants irrationnels ou aux exposants hors de $[-1, 1]$ sans modification significative.