Résumé technique : Algèbres absolument plates dans les catégories tensorielles

1. Énoncé du problème et motivation

L'article étudie la relation structurelle entre trois classes d'algèbres au sein des complétions ind de catégories tensorielles (catégories abéliennes rigides monoidales) : les algèbres semi-simples, les algèbres simples artiniennes et les algèbres artiniennes absolument plates (algèbres de von Neumann régulières).

Dans la théorie classique des anneaux sur un corps $k$, pour une algèbre artinienne, ces trois notions sont équivalentes : une algèbre est semi-simple si et seulement si elle est un produit d'algèbres simples, si et seulement si elle est absolument plate. Les auteurs se demandent si ces équivalences persistent dans le contexte plus large des catégories tensorielles. Plus précisément, ils abordent :

1. Toute algèbre semi-simple est-elle un produit d'algèbres simples ?
2. Toute algèbre simple artinienne est-elle absolument plate ?
3. Sous quelles conditions ces propriétés coïncident-elles ?

La motivation découle de plusieurs questions ouvertes dans le domaine :

• Si l'extension de scalaires d'une catégorie tensorielle reste une catégorie tensorielle (ce qui revient à demander si les extensions de corps sont absolument plates).
• Si les produits tensoriels de Deligne de catégories prétannakiennes sont toujours prétannakiennes.
• La conjecture d'Etingof-Ostrik concernant l'« exactitude » des algèbres simples dans les catégories tensorielles finies.

2. Méthodologie et cadre

Les auteurs emploient une approche systématique combinant l'algèbre catégorielle, la théorie des représentations et la géométrie algébrique au sein du cadre des catégories prétannakiennes (catégories tensorielles symétriques artiniennes).

• Définitions : Ils définissent le radical de Jacobson $J(A)$, la semi-simplicité ($J(A)=0$) et l'absolue platitude ($\text{Tor}^A_1 \equiv 0$) dans le contexte des algèbres ind. Ils distinguent les propriétés artiniennes à gauche/droite et les propriétés bi-artiniennes.
• Catégories bien fibrées : Un outil méthodologique central est le concept de catégories prétannakiennes bien fibrées. Une catégorie $\mathcal{C}$ est dite bien fibrée si elle admet un foncteur tensoriel symétrique vers une catégorie prétannakienne « de base » $\mathcal{D}$ qui est à la fois Géométriquement Réductive (GR) et Maximale Nilpotente (MN).
  • GR : Pour tout épimorphisme $X \twoheadrightarrow 1$, une certaine puissance symétrique $S^n X \twoheadrightarrow 1$ se scinde.
  • MN : Les objets simples non triviaux ont des algèbres symétriques de longueur finie, et les extensions non scindées de l'unité s'annulent finalement sous les puissances symétriques.
• Réduction aux schémas de groupes : En utilisant le formalisme tannakien, les auteurs réduisent les problèmes dans les catégories bien fibrées à l'étude d'algèbres dans $\text{Rep}_f G$ (représentations de longueur finie d'un schéma affine en groupes $G$) sur un corps de base $k$.
• Géométrie algébrique dans les catégories tensorielles : Ils utilisent la théorie des groupes algébriques et des schémas développée dans des travaux antérieurs (par exemple, [C2], [CS]) pour analyser les algèbres commutatives comme anneaux de coordonnées d'espaces homogènes $G/H$.

3. Contributions principales et résultats

3.1. Relations générales et contre-exemples

L'article établit que, dans toute généralité, les équivalences classiques échouent.

• Implications : Les auteurs prouvent que pour les algèbres artiniennes, l'absolue platitude implique l'annulation de $\text{Ext}^1$, ce qui implique que l'algèbre est un produit d'algèbres simples, ce qui implique la semi-simplicité. Cependant, les implications inverses ne sont pas universellement valables.
• Contre-exemples :
  • Semi-simple mais pas un produit de simples : Dans la catégorie de Delannoy (croissance superexponentielle), il existe une algèbre commutative semi-simple qui n'est pas un produit d'algèbres simples (Lemme 4.5).
  • Simple mais pas absolument plate : Dans les catégories à croissance superexponentielle (par exemple, $(\text{Rep } GL)_t$), il existe des algèbres ind-commutatives simples qui ne sont pas absolument plates (Proposition 4.6).
  • Algèbres simples non artiniennes : L'article fournit le premier exemple connu d'une catégorie tensorielle avec des espaces de morphismes de dimension finie contenant des objets de longueur infinie (Annexe A), soulignant les subtilités de la définition des algèbres artiniennes.

3.2. Théorèmes principaux pour la croissance modérée

Les principaux résultats positifs sont établis pour les catégories prétannakiennes de croissance modérée, spécifiquement celles qui sont bien fibrées.

Théorème A (Cas commutatif) : Soit $\mathcal{C}$ une catégorie prétannakienne bien fibrée sur un corps algébriquement clos $k$.

1. Toute algèbre commutative simple dans $\text{Ind } \mathcal{C}$ est artinienne et absolument plate.
2. Toute algèbre commutative semi-simple dans $\text{Ind } \mathcal{C}$ est un produit d'algèbres simples.
3. Si $\text{char}(k) > 0$, toute algèbre semi-simple (non nécessairement commutative) dans $\mathcal{C}$ est un produit d'algèbres simples et est absolument plate.

Ce théorème implique que pour les catégories prétannakiennes de croissance modérée (en caractéristique positive) et toutes les catégories de ce type en caractéristique 0, les équivalences classiques sont vérifiées.

Théorème B (Cas Tannakien/Schéma en groupes) : Soit $G$ un schéma en groupes affine sur un corps algébriquement clos $k$.

1. Pour une algèbre $G$-équivariante commutative simple $A$, soit $L$ l'adhérence algébrique du corps des invariants $A^G$. Il existe un sous-groupe exact $H \subseteq GL$ tel que $A \otimes_{A^G} L \cong L[GL/H]$.
2. Les algèbres commutatives semi-simples $G$-équivariantes sont des produits de simples.
3. Les algèbres $G$-équivariantes semi-simies de dimension finie sont des produits de simples.

3.3. Caractérisations structurelles

• Caractérisation artinienne : Dans les catégories bien fibrées, une algèbre ind-commutative est artinienne si et seulement si elle satisfait la condition de chaîne descendante (DCC) sur les idéaux, ou équivalemment, si elle est un produit direct fini d'algèbres locales artiniennes (Théorème 5.2).
• Propriété de Nakayama : Les auteurs utilisent la propriété de Nakayama (valable dans les catégories bien fibrées) pour prouver que le radical de Jacobson coïncide avec l'intersection des idéaux maximaux et que les modules simples correspondent aux idéaux maximaux.

3.4. Appendices

• Annexe A : Construit une catégorie tensorielle symétrique avec des espaces de morphismes de dimension finie mais des objets de longueur infinie, démontrant que la complétion ind d'une catégorie tensorielle n'est pas toujours une « belle » catégorie tensorielle au sens d'avoir des objets de longueur finie.
• Annexe B : Généralise le théorème de Deligne sur la neutralité des catégories tannakiennes, l'étendant de $\text{Vec}$ à n'importe quelles catégories prétannakiennes GR+MN.
• Annexe C : Comble une lacune technique concernant l'extension de scalaires dans les catégories tensorielles.

4. Signification et affirmations

L'article affirme résoudre la question de l'équivalence de la semi-simplicité, du produit de simples et de l'absolue platitude pour les algèbres commutatives dans les catégories prétannakiennes de croissance modérée, à condition que la catégorie soit bien fibrée.

• Portée conjecturale : Les auteurs notent qu'il s'agit d'une conjecture majeure dans le domaine (soutenue par [BEO, C2]) que toute catégorie prétannienne de croissance modérée est bien fibrée. Si cette conjecture est vérifiée, leurs résultats s'appliquent à toutes ces catégories.
• Limites : L'article stipule explicitement que dans les catégories à croissance superexponentielle (qui ne sont pas de croissance modérée), ces équivalences échouent.
• Questions ouvertes :
  • Si l'équivalence tient pour les algèbres non commutatives dans les catégories super-tannakiennes de caractéristique 0 (Question 5.16).
  • Si les contre-exemples trouvés en croissance superexponentielle peuvent être affinés pour distinguer entre algèbres simples non artiniennes et algèbres simples artiniennes qui ne sont pas absolument plates (Remarque 4.7).

Le travail fournit une description structurelle rigoureuse des algèbres commutatives simples dans ces catégories, en les identifiant aux anneaux de coordonnées d'espaces homogènes $G/H$ où $H$ est un sous-groupe exact, liant ainsi la théorie abstraite des catégories tensorielles à la géométrie algébrique concrète.