On a conjecture of Corradi and Katai

Résumé Technique : Sur une conjecture de Corrádi et Kátai

Énoncé du Problème
Cet article étudie le comportement asymptotique de sommes de type Goldbach impliquant la fonction de Liouville, $\lambda(n)$. Alors que la conjecture classique de Goldbach concerne la représentation des entiers pairs comme sommes de deux nombres premiers (liée à la fonction de von Mangoldt $\Lambda(n)$), ce travail remplace $\Lambda(n)$ par la fonction de Liouville complètement multiplicative, définie par $\lambda(p) = -1$ pour tout nombre premier $p$ et $\lambda(mn) = \lambda(m)\lambda(n)$.

L'objet central d'étude est la somme :
$$G_k(N) := \sum_{(a_1, \dots, a_k) \in S_k(N)} \lambda(a_1) \cdots \lambda(a_k)$$
où $S_k(N) = \{(a_1, \dots, a_k) \in \mathbb{N}^k \mid a_1 + \dots + a_k = N\}$. La borne triviale pour cette somme est $|G_k(N)| \ll N^{k-1}$. L'objectif principal est d'établir des bornes plus fortes démontrant une annulation significative dans ces sommes, particulièrement pour le cas $k=2$, qui est lié à la conjecture de Corrádi-Kátai.

Méthodologie
L'auteur emploie des techniques d'analyse de Fourier et de sommes exponentielles, en exploitant spécifiquement les résultats de Davenport concernant la fonction de Liouville.

1. Analyse de Fourier et Sommes Exponentielles : Le papier utilise la somme exponentielle $S(N, x) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^N \lambda(n)e(nx)$. L'outil analytique central est le théorème de Davenport, qui stipule que $|S(N, x)| \ll_A \frac{\sqrt{N}}{\log^A N}$ uniformément pour $x \in [0, 1]$.
2. Représentations Intégrales : En utilisant l'identité de Parseval et les propriétés des sommes exponentielles, l'auteur relie les sommes $G_k(N)$ à des intégrales de puissances de $S(N, x)$. Plus précisément, l'identité $\int_0^1 S^2(N, x)e(-nx)dx = \frac{G_2(n)}{N}$ est utilisée pour connecter les sommes discrètes aux normes $L^2$ et $L^4$ continues de la somme exponentielle.
3. Arguments Inductifs : Pour le cas $k \geq 3$, les preuves procèdent par induction. Le cas de base ($k=3$) repose sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au cas $k=2$, qui est borné en utilisant l'estimation de la moyenne quadratique de $G_2(n)$ dérivée du théorème de Davenport.
4. Sommation Partielle : Pour dériver des bornes pour l'ensemble des $N$ où $|G_2(N)|$ est grand, l'auteur utilise des techniques de sommation partielle sur l'estimation de la moyenne de la valeur carrée de $G_2(n)/n$.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème 1 (Cas $k \geq 3$) : Pour tout entier fixé $k \geq 3$ et toute constante positive $A$, le papier prouve :
  $$|G_k(N)| \ll_{A, k} \frac{N^{k-1}}{\log^A N}$$
  Ce résultat établit une amélioration de type "puissance économisante" (power-saving) par rapport à la borne triviale $O(N^{k-1})$ pour tous les rangs $k \geq 3$.

• Théorème 2 (Cas $k = 2$) : Le papier traite le cas plus difficile de $k=2$. Il définit $K(\delta) = \{N \in \mathbb{N} \mid |G_2(N)| > \delta N\}$. Le résultat principal ici est une estimation de densité :
  $$|K(\delta) \cap \{1, 2, \dots, N\}| \ll_A \frac{1}{\delta^2} \frac{N}{\log^A N}$$
  Ceci implique que l'ensemble des entiers où $|G_2(N)|$ dépasse une fraction linéaire de $N$ a une densité nulle. Par conséquent, $\liminf_{N \to \infty} \frac{|G_2(N)|}{N} = 0$. Le papier note que ce résultat affirme que la conjecture de Corrádi-Kátai est vraie si la limite définissant la conjecture existe, mais ne prouve pas que la limite existe inconditionnellement.

• Théorème 3 (Distribution des Signes) : Comme corollaire des résultats principaux, le papier démontre l'équidistribution des motifs de signes pour la fonction de Liouville pour $k \geq 3$. Pour toute séquence de signes $(\epsilon_1, \dots, \epsilon_k) \in \{\pm 1\}^k$, le nombre de solutions à $a_1 + \dots + a_k = N$ avec $\lambda(a_i) = \epsilon_i$ est :
  $$\frac{1}{2^k} \binom{N-1}{k-1} + O_A\left(\frac{N^{k-1}}{\log^A N}\right)$$
  Cela indique que les motifs de signes se produisent avec la fréquence attendue, à un terme d'erreur de faible ordre.

Signification et Contexte
Le papier situe ses résultats dans le contexte de la Conjecture de Corrádi-Kátai (1969), qui postule que $\lim_{N \to \infty} \frac{|G_2(N)|}{N} = 0$.

• L'auteur note que bien que la conjecture ait été prouvée conditionnellement (en supposant l'existence d'une infinité de zéros de Siegel) dans un travail cité [3], une preuve inconditionnelle est restée insaisissable.
• Le papier fait référence aux travaux récents de Mangerel, qui a prouvé que $|G_2(N)| < N-1$ pour $N \notin \{2, 3, 5, 10\}$, répondant ainsi à une question plus faible posée par Sarnak.
• La contribution de l'auteur est modeste concernant la conjecture complète : le Théorème 2 ne prouve pas que la limite existe ou est nulle pour chaque $N$, mais il prouve que la limite inférieure est nulle et que les valeurs élevées de $|G_2(N)|$ sont extrêmement rares.
• Le papier affirme que le Théorème 1 et le Théorème 3 sont équivalents, soulignant que l'annulation dans les sommes est directement liée à la distribution de type aléatoire des signes de la fonction de Liouville.

Le travail fournit une amélioration inconditionnelle rigoureuse des bornes triviales pour les sommes de rang supérieur ($k \geq 3$) et offre une résolution partielle, basée sur la densité, du cas $k=2$ de longue date, renforçant l'heuristique selon laquelle la fonction de Liouville se comporte de manière aléatoire dans les contextes additifs.