A Generalized Parallelogram Rule for Proportional Analogies on Riemannian Manifolds

Imaginez que vous essayez de résoudre une énigme qui ressemble à ceci : « Pomme est à Fruit ce que Carotte est à... ? » Votre cerveau sait instantanément que la réponse est « Légume ». Vous n'avez pas eu besoin d'une calculatrice ; vous avez simplement compris la relation entre les deux premiers éléments et l'avez appliquée au troisième. Dans le monde de l'informatique, cela s'appelle une « analogie », et c'est un superpouvoir pour l'intelligence artificielle. Pendant longtemps, les scientifiques ont appris aux ordinateurs à résoudre ces énigmes en utilisant des cartes plates et en forme de grille (appelées espaces euclidiens), où l'on peut simplement tracer une ligne droite ou un parallélogramme parfait pour trouver la pièce manquante. Cela fonctionne très bien pour des listes simples de mots ou de nombres.

Mais le monde réel n'est pas plat. Pensez à la Terre : c'est une sphère. Si vous essayez de tracer une ligne droite sur un globe, elle se courbe. Ou pensez à un robot changeant de forme ou à un nuage de probabilités ; ils existent sur des surfaces complexes et courbes appelées « variétés » (manifolds). Lorsque les ordinateurs essaient de résoudre des analogies sur ces surfaces courbes en utilisant les anciennes règles plates, tout se casse. Les lignes droites ne se connectent pas, et les réponses deviennent confuses. Cet article pose une grande question : comment pouvons-nous apprendre aux ordinateurs à résoudre les énigmes de type « A est à B comme C est à D » lorsque le monde dans lequel ils vivent est courbe, tordu et plein de bosses ?

Les auteurs, Pierre-Alexandre Murena et Marcelo Hartmann, ont trouvé une nouvelle méthode ingénieuse pour faire cela. Au lieu d'essayer de forcer un monde courbe dans une boîte plate, ils ont décidé d'utiliser les courbes elles-mêmes pour trouver la réponse. Ils ont réalisé que dans un monde plat, un parallélogramme est défini par le fait que ses côtés sont parallèles. Mais sur une surface courbe, le concept de « parallèle » est délicat. Ils ont donc changé la définition. Ils ont regardé le centre de la forme. Dans un carré plat, les diagonales se croisent exactement au milieu. Les auteurs ont prouvé que si vous trouvez le « milieu géodésique » (le point central exact le long du chemin courbe le plus court) entre deux éléments, vous pouvez utiliser celui-ci pour résoudre l'analogie, même sur une sphère, une maille changeante ou un nuage de données.

Voici comment leur nouvelle règle fonctionne en langage clair. Imaginez que vous avez quatre points sur une surface courbe : A, B, C et D. Dans l'ancien monde plat, vous diriez : « La distance de A à B est la même que de C à D. » Dans un monde courbe, c'est difficile à mesurer. Les auteurs disent : « Oubliez les côtés. Regardez le milieu. » Si vous marchez à mi-chemin de A vers D, et que vous marchez à mi-chemin de B vers C, vous devriez arriver exactement au même endroit. Si ces deux rencontres de « points médians » se produisent au même endroit, alors A, B, C et D forment une analogie parfaite. C'est comme dire : « Le point de mi-chemin entre le départ et l'arrivée du premier voyage est le même que le point de mi-chemin du second voyage. »

Cela peut sembler être un petit ajustement, mais c'est un changement majeur car cela fonctionne partout. Les auteurs ont testé leur idée sur toutes sortes de lieux étranges et courbes. Ils l'ont testée sur une sphère (comme la Terre), sur des formes 3D (comme un chien se transformant en vache), et même sur des nuages de probabilité (comme prédire des notes de films). Dans chaque cas, leur « règle du milieu » a trouvé la pièce manquante du puzzle correctement. Ils ont montré que cette méthode est « robuste », ce qui signifie que si l'on déplace légèrement les points de départ, la réponse ne s'effondre pas ; elle reste proche de la bonne réponse. Ceci est crucial pour l'IA réelle, où les données sont souvent bruitées ou imparfaites.

L'un des aspects les plus intéressants de leur travail est la façon dont il gère différents types de données « courbes ». Par exemple, lorsqu'il s'agit de formes (comme des modèles 3D d'animaux), ils ont montré que l'on peut prendre une déformation (un étirement ou une torsion) d'un animal et l'appliquer à un autre en utilisant cette règle. Si vous avez un chien en position assise et un chien debout, vous pouvez comprendre comment transformer une vache de la position assise à la position debout, même si les vaches et les chiens sont différents. Ils ont également testé cela sur les notes de films. Si vous savez comment les « adolescents » évaluent les films d'action par rapport aux films d'horreur, et que vous savez comment les « adultes » évaluent les films d'action, vous pouvez utiliser leur nouvelle règle pour deviner comment les « adultes » évalueront les films d'horreur. Dans leurs tests, cette approche géométrique était souvent meilleure que les anciennes méthodes pour prédire ces préférences.

L'article établit également une distinction claire sur les cas où cela fonctionne et les cas où cela pourrait devenir délicat. Ils ont prouvé que sur certaines surfaces lisses et symétriques (comme les sphères ou les espaces hyperboliques), la réponse est unique et facile à calculer. Cependant, sur certaines surfaces, comme la sphère, si deux points sont exactement opposés (antipodaux), il peut y avoir plus d'un « milieu », ce qui signifie qu'il pourrait y avoir plus d'une réponse valide à l'énigme. Ils n'ont pas seulement supposé cela ; ils ont fourni les formules mathématiques pour calculer la réponse exacte pour les sphères, les espaces hyperboliques et même les matrices complexes utilisées en apprentissage automatique.

Ils n'ont pas prétendu que cela résout tous les problèmes de l'IA. Ils ont explicitement noté que leur méthode repose sur le fait que les données existent sur un type spécifique de surface courbe appelée « variété riemannienne ». Si les données vivent sur une surface étrange et non lisse qui ne respecte pas ces règles, leur méthode pourrait ne pas s'appliquer directement. Ils ont également souligné que, bien que leur méthode fonctionne magnifiquement pour les formes et les probabilités, il s'agit d'un nouvel outil qui doit être testé davantage dans des applications réelles comme l'apprentissage par transfert (enseigner une tâche à un ordinateur pour l'aider avec une autre) ou le méta-apprentissage.

En fin de compte, cet article traite de l'offre d'une meilleure carte à l'IA. Pendant des années, les ordinateurs ont essayé de naviguer dans le monde complexe et courbe des données en utilisant une carte plate en 2D, ce qui les a menés à s'égarer. Murena et Hartmann ont dessiné une nouvelle carte qui respecte les courbes. En se concentrant sur le « milieu » du voyage plutôt que sur les lignes droites, ils ont montré que les ordinateurs peuvent enfin résoudre des analogies dans le monde réel, tordu et magnifique dans lequel nous vivons réellement. C'est une étape vers une IA qui ne se contente pas de mémoriser des faits, mais qui comprend véritablement les relations entre les choses, qu'il s'agisse de mots, de formes ou de goûts cinématographiques.