A Generalized Parallelogram Rule for Proportional Analogies on Riemannian Manifolds

「アップルはフルーツであるならば、キャロットは……？」といったような、謎解きを解こうとしている自分を想像してみてください。あなたの脳は、即座に答えが「野菜」であることを理解します。あなたは計算機を使う必要もなく、最初の2つのアイテム間の「関係性」を理解し、それを3つ目のアイテムに適用したのです。コンピュータの世界では、これを「アナロジー（類推）」と呼び、人工知能にとってのスーパーパワーとなります。長い間、科学者たちは、平坦な格子状のマップ（ユークリッド空間と呼ばれます）を用いて、コンピュータにこれらの謎解きを教えてきました。そこでは、単に直線や完璧な平行四辺形を描くことができます。これは単純な単語のリストや数値には非常にうまく機能します。

しかし、現実の世界は平坦ではありません。地球を思い浮かべてみてください。地球は球体です。もし地球儀の上に直線を描こうとすれば、それは曲線になります。あるいは、形を変えるロボットや、確率の雲を考えてみてください。これらは「多様体」と呼ばれる、複雑で曲がった表面の上に存在しています。コンピュータが古い平坦なルールを使って、これらの曲がった表面上でアナロジーを解こうとすると、物事はうまくいかなくなります。直線がつながらず、答えがめちゃくちゃになってしまうのです。この論文は、大きな問いを投げかけています。「世界が曲がり、ねじれ、凹凸に満ちているとき、コンピュータに『AはBであり、CはDである』というアナロジーの謎解きを教えるにはどうすればよいのか？」ということです。

著者であるピエール＝アレクサンドル・ミュレナとマルセロ・ハルトマンは、巧妙な新しい方法を考案しました。彼らは、曲がった世界を無理やり平らな箱に押し込めるのではなく、その「曲線そのもの」を利用して答えを見つけることにしたのです。彼らは、平らな世界では平行四辺形は「辺が平行であること」によって定義されることに気づきました。しかし、曲がった表面の上では「平行」という概念は扱いにくいものです。そこで、彼らは定義を変更しました。彼らは図形の「中心」に着目したのです。平らな正方形では、対角線はちょうど真ん中で交差します。著者たちは、もし「測地的中点（最短の曲がった経路に沿った正確な中心点）」を見つけることができれば、それを利用して球体や、形を変えるメッシュ、あるいはデータの雲の上であっても、アナロジーを解くことができることを証明しました。

彼らの新しいルールがどのように機能するかを、平易な言葉で説明します。曲がった表面上に4つの点 A、B、C、D があると想像してください。古い平らな世界では、「AからBへの距離はCからDへの距離と同じである」と言います。曲がった世界では、これは測定するのが困難です。そこで著者たちは言います。「辺のことは忘れなさい。真ん中を見なさい」。もし、AからDへ向かう道のりの半分まで進み、さらにBからCへ向かう道のりの半分まで進んだとき、その二人が全く同じ場所にたどり着くとしたらどうでしょうか。もしこれら2つの「中間地点での出会い」が同じ場所で起こるならば、A、B、C、Dは完璧なアナロジーを形成していることになります。それは、「最初の旅の始まりと終わりの中間地点は、二番目の旅の中間地点と同じである」と言うのと同じことです。

これは小さな修正のように聞こえるかもしれませんが、非常に大きな意味を持ちます。なぜなら、あらゆる場所で機能するからです。著者たちは、彼らのアイデアをさまざまな奇妙で曲がった場所でテストしました。球体（地球のような）、3D形状（犬が牛へと変化するような動き）、さらには確率の雲（映画の評価を予測するようなもの）で試しました。あらゆるケースにおいて、彼らの「中間地点ルール」は、パズルの欠けているピースを正しく見つけ出しました。彼らは、この手法が「ロバスト（強靭）」であること、つまり、開始点をほんの少し動かしたとしても、答えが崩壊することなく、正しい答えの近くに留まり続けることを示しました。これは、データがノイズを含んでいたり不完全であったりすることが多い現実世界のAIにとって、極めて重要です。

彼らの研究の最も興味深い部分の一つは、異なる種類の「曲がった」データをどのように扱うかという点です。例えば、形状（動物の3Dモデルなど）を扱う場合、一つの動物から得られた変形（引き伸ばしやねじれ）を、このルールを用いて別の動物に適用できることを示しました。もし、座っているポーズの犬と立っているポーズの犬がいるなら、このルールを使えば、牛が座った状態から立った状態へ変わる様子を導き出すことができます。また、彼らは映画の評価についてもテストを行いました。もし「ティーンエイジャー」がアクション映画とホラー映画をどのように評価するかを知っており、かつ「大人」がアクション映画をどのように評価するかを知っていれば、この新しいルールを使って、大人がホラー映画をどのように評価するかを推測できるのです。彼らのテストでは、この幾何学的なアプローチが、予測において従来のメソッドよりも優れていることがしばしば示されました。

また、この論文は、どこでこの手法が機能し、どこで注意が必要かについても明確に区別しています。彼らは、特定の滑らかで対称的な表面（球体や双曲空間など）においては、答えが一意であり、計算が容易であることを証明しました。しかし、球体のように、2つの点がちょうど反対側（対蹠点）にある場合、中間点が複数存在する可能性があり、それは複数の有効な答えが存在することを意味します。彼らは単に推測したのではなく、球体、双曲空間、さらには機械学習で使用される複雑な行列に対して、正確な答えを計算するための数学的公式を提供しました。

彼らは、この手法がAIのあらゆる問題を解決すると主張したわけではありません。彼らは、彼らの手法が「リーマン多様体」と呼ばれる特定の種類の曲がった表面にデータが存在していることに依存していることを明示的に述べています。もしデータが、これらのルールに適合しない、奇妙で滑らかでない表面に存在する場合、彼らの手法は直接的には適用できない可能性があります。彼らはまた、彼らの手法が形状や確率については見事に機能するものの、転移学習（一つのタスクを学ぶことで別のタスクを助けること）やメタ学習といった実世界のアプリケーションにおいて、より多くのテストが必要な新しいツールであることも指摘しています。

結局のところ、この論文はAIにより優れた地図を与えるためのものです。長年、コンピュータは、複雑で曲がったデータの世界を平らな2Dマップを使ってナビゲートしようとしてきましたが、それが迷子を生む原因となってきました。ミュレナとハルトマンは、その曲がりを尊重した新しい地図を描きました。直線ではなく「旅の中間」に焦点を当てることで、コンピュータはついに、言葉、形、あるいは映画の好みといった、私たちが実際に生きている曲がりくねった美しい世界におけるアナロジーを解くことができるようになったことを示したのです。これは、AIが単に事実を暗記するのではなく、物事の間の「関係性」を真に理解するための大きな一歩なのです。