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Lithium-ion cell modelling: an example of fractional order behavior modeling with distributed time delay models

Cet article démontre que les modèles classiques de temps de retard distribués peuvent reproduire efficacement la dynamique de loi de puissance et les effets de mémoire typiquement associés aux modèles d'ordre fractionnaire, offrant ainsi une alternative plus simple et plus interprétable physiquement pour des applications telles que la modélisation de cellules de batteries lithium-ion.

Auteurs originaux : Jocelyn SABATIER

Publié 2026-09-30

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Jocelyn SABATIER

Article original sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Dans le monde caché à l'intérieur d'une batterie, l'électricité ne s'écoule pas toujours comme de l'eau dans un tuyau. Parfois, le mouvement des particules chargées se comporte davantage comme une tache qui s'étale lentement sur une feuille de papier, où la vitesse de l'étalement change au fil du temps d'une manière qui défie toute prédiction simple. Les scientifiques appellent ce comportement une « mémoire longue », signifiant que le système se souvient de ses états passés et laisse cette histoire influencer ce qui se passe ensuite. Pendant des décennies, les chercheurs ont utilisé une branche spécialisée des mathématiques, connue sous le nom de calcul fractionnaire, pour décrire ces effets complexes et persistants. Cet outil mathématique est devenu le langage standard pour expliquer pourquoi les batteries, les tissus biologiques et certains matériaux réagissent de telle manière sur de longues périodes. Cependant, ce langage mathématique est notoirement difficile à interpréter physiquement, laissant souvent les ingénieurs avec des prédictions précises mais sans image claire des mécanismes réels en jeu.

Une nouvelle étude de Jocelyn Sabatier à l'Université de Bordeaux remet en question l'idée que ces mathématiques complexes soient la seule façon de décrire ces phénomènes. La chercheuse a entrepris de voir si une classe de modèles beaucoup plus ancienne et plus simple — ceux qui tiennent compte de retards répartis dans le temps plutôt que d'un instant unique — pourrait produire exactement les mêmes résultats. L'accent a été mis sur une cellule de batterie lithium-ion, du type que l'on trouve dans les véhicules électriques et les smartphones. Lorsqu'une batterie est chargée ou déchargée, sa tension chute selon un profil spécifique qui ressemble à une loi de puissance, une courbe que les scientifiques attribuent traditionnellement aux règles mystérieuses du calcul fractionnaire. Sabatier a proposé que cette même courbe puisse simplement être le résultat de nombreux processus de diffusion se produisant simultanément, chacun ayant sa propre vitesse, plutôt que d'une règle mathématique unique et exotique.

Pour tester cela, l'équipe a analysé la réponse de la tension d'une cellule de batterie lorsqu'un courant constant est appliqué. Ils ont observé la chute de tension au fil du temps, causée par une combinaison de résistance immédiate, de réactions de surface et de la diffusion lente des ions lithium au plus profond des particules solides de l'électrode. Les chercheurs ont ensuite construit deux modèles différents pour prédire ce comportement. Le premier était un modèle d'ordre fractionnaire standard, le favori actuel de l'industrie, qui utilise des puissances non entières pour capturer l'effet de mémoire longue. Le second était un modèle de retard temporel distribué, qui traite le système comme une collection de nombreux retards simples, chacun étant pondéré différemment, pour imiter la dispersion du temps.

Les résultats ont été frappants. Lorsque l'équipe a ajusté les deux modèles aux données expérimentales réelles, elle a constaté que le modèle de retard distribué, plus simple, était tout aussi performant que le modèle fractionnaire complexe. Les deux modèles prédisaient la tension de la batterie avec une précision quasi identique, atteignant une précision d'ajustement de plus de 94 pour cent. Le modèle de retard distribué nécessitait le même nombre de paramètres ajustables pour atteindre ce niveau de précision, tout en le faisant sans invoquer de dérivées fractionnaires. En fait, l'étude a montré que les coefficients mathématiques du modèle de retard évoluaient naturellement pour ressembler aux courbes de loi de puissance pour lesquelles le calcul fractionnaire est célèbre, prouvant que les mathématiques complexes n'étaient pas strictement nécessaires pour générer le comportement observé.

Cette découverte suggère que les réponses en loi de puissance observées dans les batteries et d'autres systèmes pourraient ne pas être la preuve d'une loi physique fondamentale et exotique, mais plutôt le résultat naturel du chevauchement de nombreux processus classiques. Le modèle de retard distribué offre un avantage distinct en termes de clarté : alors que le calcul fractionnaire décrit la mémoire à travers des opérateurs abstraits difficiles à visualiser, le modèle de retard la décrit à travers une distribution de décalages temporels qui peuvent être directement liés aux temps de transport physique, aux taux de diffusion ou aux temps de résidence. L'étude ne prétend pas que les modèles fractionnaires sont erronés ou inutiles, mais elle soutient qu'ils peuvent être une complication inutile lorsqu'une approche classique peut expliquer les mêmes données avec une précision égale et une intuition physique accrue.

En démontrant qu'un cadre classique peut reproduire le comportement d'un cadre fractionnaire, la recherche invite à une réévaluation de la manière dont les scientifiques modélisent les systèmes dotés de mémoire. Elle suggère que la complexité croissante des cadres fractionnaires modernes, avec leurs nombreuses variations et définitions, pourrait résoudre des problèmes qui n'existent pas. Si une simple distribution de retards peut capturer l'essence des phénomènes de mémoire longue, alors le chemin vers la compréhension de ces systèmes réside peut-être non pas dans des mathématiques plus abstraites, mais dans de meilleures descriptions de la façon dont les processus physiques se déroulent dans le temps. Ce travail ne déclare pas une victoire finale de l'une ou l'autre méthode, mais il établit fermement que l'approche plus simple et plus interprétable est une alternative viable et puissante pour comprendre la dynamique lente et persistante du monde réel.

Résumé technique : Modélisation de cellules lithium-ion avec des modèles à retard distribué

Énoncé du problème
Les dynamiques d’ordre fractionnaire et les réponses en loi de puissance sont omniprésentes dans les systèmes complexes, notamment les dispositifs électrochimiques tels que les batteries lithium-ion, les matériaux viscoélastiques et les tissus biologiques. Traditionnellement, ces comportements sont modélisés par le calcul fractionnaire, qui génère naturellement des effets de mémoire longue et des réponses en loi de puissance via des équations différentielles fractionnaires. Cependant, l'interprétation physique des états d'ordre fractionnaire, la définition des conditions initiales et l'existence de multiples opérateurs fractionnaires concurrents (par exemple, Riemann–Liouville, Caputo) présentent des défis.

Parallèlement, les modèles à retard temporel distribué constituent une classe bien établie de systèmes à dimension infinie capables de décrire la mémoire et les effets héréditaires grâce à un continuum de valeurs de retard. Bien qu'ils soient largement utilisés en dynamique des populations et en contrôle de processus, leur capacité spécifique à reproduire les comportements en loi de puissance typiques des opérateurs fractionnaires a reçu une attention limitée. Le problème central abordé par cet article est de savoir si les modèles classiques à retard temporel distribué peuvent reproduire les dynamiques de loi de puissance attribuées au calcul fractionnaire, offrant ainsi une alternative physiquement interprétable à la modélisation fractionnaire.

Méthodologie
L'article propose une dérivation théorique reliant les réponses en loi de puissance aux modèles de retard temporel distribués discrets et continus, suivie d'une validation empirique utilisant des données de cellules lithium-ion.

Dérivation théorique :
- Modèle discret : En partant d'une caractéristique de réponse temporelle en loi de puissance d'un système présentant un comportement fractionnaire (spécifiquement $Q(t) \propto t^\alpha$ ), l'auteur dérive un modèle à retard temporel distribué discret. En discrétisant la forme intégrale de la loi de puissance et en appliant la formule explicite d'Euler, l'article démontre que les coefficients résultants reproduisent asymptotiquement la décroissance en loi de puissance ( $m^{-\nu}$ ). Cela conduit à une équation récursive où l'état actuel est une somme pondérée des états passés, formant efficacement un modèle à retard distribué.
- Modèle continu : L'article fait référence à une méthode d'approximation continue où un intégrateur fractionnaire est approximé par une fonction de transfert impliquant un noyau $\eta_a(t)$ . Ce noyau est construit à l'aide d'un produit de pôles et de zéros pour approcher $t^{-\nu}$ sur un intervalnement de temps spécifique. Cela permet de représenter le comportement fractionnaire comme un système à retard temporel distribué au sein de la théorie classique des systèmes dynamiques.
Application aux cellules lithium-ion :
- L'étude utilise des données expérimentales d'une cellule lithium-ion (entrée de courant, sortie de tension) fournies par PSA Peugeot-Citroën.
- La dynamique de la cellule est modélisée selon un cadre à une seule électrode où la chute de tension est décomposée en résistance instantanée, effets de capacité de la double couche et polarisation induite par la diffusion.
- Trois modèles sont comparés :
  - Modèle d'ordre fractionnaire : Utilise des fonctions de transfert d'ordre fractionnaire ( $H_1(s)$ et $H_2(s)$ ) dérivées d'équations de diffusion en géométrie sphérique, approximées par des entrelacements de pôles et de zéros.
  - Modèle à retard temporel distribué discret : Implémente l'équation récursive discrète dérivée.
  - Modèle à retard temporel distribué continu : Implémente la formulation de délai continu en utilisant l'approximation du noyau.
- L'identification des paramètres pour tous les modèles est réalisée à l'aide d'un algorithme d'optimisation non linéaire de Levenberg-Marquardt afin de minimiser l'erreur quadratique moyenne (RMSE) entre les tensions simulées et mesurées.

Principales contributions

Lien théorique : L'article établit une connexion mathématique directe montrant qu'un modèle classique à retard temporel distribué d'ordre entier peut générer des réponses présentant les mêmes propriétés de loi de puissance que le calcul fractionnaire.
Cadre alternatif : Il démontre que les modèles à retard distribué peuvent servir d'alternative physiquement interprétable aux modèles d'ordre fractionnaire pour les phénomènes de mémoire.
Validation comparative : L'étude fournit une comparaison côte à côte des modèles fractionnaires et des modèles à retard distribués appliqués à une batterie lithium-ion réelle, montrant que les deux approches atteignent une précision comparable avec un nombre similaire de paramètres de réglage.

Résultats
Les résultats de modélisation pour la cellule lithium-ion indiquent que :

Précision : Les modèles d'ordre fractionnaire et les modèles à retard temporel distribués (tant discrets que continus) reproduisent la dynamique de tension mesurée avec une grande précision.
- Le modèle fractionnaire ( $H_2$ ) a atteint un FIT de 95,15 % et un RMSE de 0,00500.
- Le modèle à retard distribué discret a atteint un FIT de 95,08 % et un RMSE de 0,00508.
- Le modèle à retard distribué continu a atteint un FIT de 94,93 % et un RMSE de 0,00523.
Efficacité des paramètres : Tous les modèles nécessitaient un nombre limité et équivalent de paramètres de réglage (de 4 à 6 paramètres selon la complexité du modèle).
Analyse d'erreur : Les erreurs de modélisation ( $\epsilon$ ) pour toutes les approches étaient visuellement et statistiquement comparables, confirmant que les modèles à retard distribué ne sacrifient pas la précision au profit de l'interprétabilité.

Signification et affirmations
L'article affirme que les comportements observés en loi de puissance dans les systèmes électrochimiques ne doivent pas être automatiquement interprétés comme la preuve d'un mécanisme sous-jacent d'ordre fractionnaire. Au lieu de cela, ces comportements peuvent émerger de l'agrégation de processus distribués classiques agissant sur plusieurs échelles de temps.

La portée de ce travail réside dans les points suivants :

Interprétabilité physique : Contrairement aux modèles fractionnaires, qui reposent sur des opérateurs de dérivation abstraits et font face à des problèmes concernant les conditions initiales, les modèles à retard temporel distribués représentent explicitement l'influence des états passés par des noyaux de retard. Ces noyaux peuvent être directement associés à des quantités physiques telles que les temps de transport, les temps de diffusion et les distributions de temps de résidence.
Simplicité mathématique : Les modèles à retard distribué opèrent dans la théorie classique des systèmes dynamiques, évitant les complexités et les définitions divergentes propres au calcul fractionnaire.
Changement de paradigme : Les résultats suggèrent que les modèles à retard distribué ne sont pas simplement des approximations numériques des modèles fractionnaires mais constituent un paradigme de modélisation distinct. Ils offrent un moyen de capturer les comportements de mémoire longue et de loi de puissance tout en maintenant un lien clair avec les mécanismes physiques sous-jacents.
Réévaluation de la complexité : L'article invite à examiner la complexité croissante des cadres de modélisation fractionnaire (par exemple, ordre variable, ordre distribué). Si les structures classiques à retard distribué peuvent capturer les dynamiques essentielles, la nécessité de ces formulations plus sophistiquées pour certaines applications pourrait devoir être réévaluée.

En conclusion, l'article soutient que les modèles à retard temporel distribué constituent une alternative pertinente et attractive pour décrire les phénomènes pilotés par la diffusion et dépendants de la mémoire, offrant un équilibre entre performance de modélisation et interprétabilité physique.

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