1736 पेपर
यह शोध पत्र गैर-शून्य सारणिक वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक आव्यूह (matrices) के अर्धसमूह (semigroup) में आव्यूह गुणनखंडन (matrix factorization) की समझ को दो नए अपरिमेय आव्यूहों (irreducible matrices) के वर्गों की पहचान करके और एक विभाजक-बंद उपसमुच्चय (divisor-closed subset) तथा एक गणनात्मक खोज एल्गोरिदम के माध्यम से 4000 के न्यूनतम प्रविष्टि (entry) तक द्विसमतुल्य परमाणुओं (bisymmetric atoms) को वर्गीकृत करके आगे बढ़ाता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि परिमेय दीर्घवृत्तीय वक्रों (rational elliptic curves) के फ्रोबेनियस ट्रेस (Frobenius traces) पर प्रशिक्षित एक टू-लेयर ट्रांसफार्मर न केवल उनके रैंक की भविष्यवाणी करने में लगभग पूर्ण सटीकता प्राप्त करता है, बल्कि विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत से मेस्ट्रे-नागाओ ह्यूरिस्टिक (Mestre-Nagao heuristic) को यांत्रिक रूप से सीखता भी है, जिससे यह प्रकट होता है कि मॉडल के आंतरिक सर्किट और अटेंशन मैकेनिज्म इनपुट में स्पष्ट संख्या-सिद्धांत संबंधी विशेषताओं की अनुपस्थिति के बावजूद जैसे गहरे गणितीय गुणों को प्रभावी ढंग से एनकोड करते हैं।
यह शोध पत्र चरम सिडन समुच्चयों (Sidon sets) की फूरियर एकरूपता (Fourier uniformity) का लाभ उठाते हुए, विशिष्ट अवशेष वर्गों (residue classes) के भीतर सघन परिमित सिडन समुच्चयों के घात योगों (power sums) के लिए एक अनंत सूत्र (asymptotic formula) स्थापित करता है, जिससे एक पूर्व परिकल्पना को हटा दिया गया है।
यह शोध पत्र के क्यूबिक परिवार के परिमेय 2-चक्रों (rational 2-cycles) और एक विशिष्ट अण्डाकार वक्र (elliptic curve) पर परिमेय बिंदुओं के बीच एक द्विरूपी पत्राचार (birational correspondence) स्थापित करता है, जो यह सिद्ध करता है कि सभी गैर-शून्य के लिए उस वक्र की रैंक धनात्मक है और इस प्रकार ऐसे चक्रों को उत्पन्न करने वाले के अनंत परिमेय मानों की गारंटी देता है, साथ ही यह वक्र की टॉर्शन संरचना (torsion structure) को अभिलक्षित करता है और विशिष्ट परिमेय आइसोजीनी (rational isogenies) तथा बिंदु क्रमों (point orders) को वर्जित करता है।
यह शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अर्ध-अभाज्य (semiprime) हरों वाले विशिष्ट इकाई भिन्नों के एक परिमित योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो चुनौतीपूर्ण मामले के लिए बटलर-एर्दोश-ग्राहम आगमन (induction) को अनुकूलित करके और साथ ही इन परिणामों को परिमेय संख्याओं तक विस्तारित करते हुए तथा मामले के लिए पहला पूर्ण प्रमाण प्रदान करते हुए किया गया है।
यह शोध पत्र डी मोइव्रे के यादृच्छिक प्रयोग से व्युत्पन्न -बर्नौली और biनोमियल वितरणों को प्रस्तुत करता है, उनके संभाव्यता गुणों का विश्लेषण करता है, और होने पर पॉइसन और सामान्य वितरणों में उनके अभिसरण को स्थापित करता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि दो -सामान्यीकृत पेल संख्याओं का संयोजन केवल उस विशिष्ट मामले में एक तीसरी ऐसी संख्या के बराबर होता है जहाँ और संख्याएँ 1 और 2 हैं, जबकि के लिए कोई समाधान मौजूद नहीं है।
यह शोध पत्र प्राइम पावर के बढ़ने पर, साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के भीतर पूर्ण ऊंचाई (absolute height) से कम वाले बीजगणितीय पूर्णांकों और इकाइयों की संख्या पर एक अनंत सीमा (asymptotic bound) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र नेक्रासोव-ओकुन्कोव बहुपदों के प्रमुख शून्य (dominant zero) के लिए एक सटीक परिमित-आयामी पेरॉन-फ़्रोबेनियस प्राप्ति (Perron–Frobenius realization) स्थापित करता है, जो उनके गैर-तुच्छ शून्यों को एक मूल (primitive) गैर-ऋणात्मक आव्यूह के आइजन मानों (eigenvalues) के रूप में निरूपित करके, अधिकतम मापांक वाले एक अद्वितीय, वास्तविक, ऋणात्मक और सरल शून्य के अस्तित्व को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र एक नवीन प्राइम-पावर हीके डिफेक्ट विश्लेषण (prime-power Hecke defect analysis) और फ्रिक इनवोल्यूशन (Fricke involution) तर्क का उपयोग करते हुए, पर एक मॉड्यूलर प्रमाण के माध्यम से ज्ञात डेप्थ-वन मोडुलस को सभी प्राइम पावर्स तक विस्तारित करके, एक लेवल-थ्री सिमेट्रिक-क्यूब हाइपरजियोमेट्रिक अनुक्रम के लिए एक पूर्ण प्राइम-पावर सुपरकंग्रुएंस टॉवर स्थापित करता है।