The distribution of the de Moivre experiment

तकनीकी सारांश: डी मोइवर प्रयोग का वितरण

समस्या विवरण और प्रेरणा
यह शोध पत्र "डी मोइवर प्रयोग" के संबंध में संभाव्यता मॉडलिंग में एक ऐतिहासिक अंतराल को संबोधित करता है। जबकि अब्राहम डी मोइवर ने अपने 1711 के कार्य द डॉक्ट्रिन ऑफ चांसेस में, $(s+1)$ फलक वाले $n$ पासे फेंकने पर एक विशिष्ट योग $k$ प्राप्त करने के तरीकों को निर्धारित करने की संयोजन संबंधी समस्या का विश्लेषण किया था, इस प्रयोग को नियंत्रित करने वाले संभाव्यता वितरण को साहित्य में औपचारिक रूप से विकसित नहीं किया गया था। ऐतिहासिक रूप से, वह मामला जहाँ फलकों की संख्या 2 (सिक्का उछालना) थी, बर्नौली और द्विपद (binomial) वितरणों की ओर ले गया। हालाँकि, $\{0, 1, \dots, s\}$ पर एक समान वितरण (जहाँ $s > 1$) के सामान्यीकरण को तब तक अनमॉडलित रखा गया जब तक कि इससे जुड़े गुणांकों के सरलीकृत व्यंजक 2000 के दशक में स्थापित नहीं किए गए। लेखक इस प्रयोग को औपचारिक रूप देने, संबंधित संभाव्यता नियमों को परिभाषित करने और उनके सीमित व्यवहारों की जांच करने का लक्ष्य रखते हैं।

कार्यप्रणाली और परिभाषाएँ
अध्ययन एक मौलिक यादृच्छिक चर (random variable) और उसके संबद्ध वितरणों को परिभाषित करके आगे बढ़ता है:

1. $s$-बर्नौली वितरण: लेखक एक एकल पासे के परिणाम को दर्शाने वाले एक यादृच्छिक चर $X$ को परिभाषित करते हैं जिसके $(s+1)$ फलक हैं, जो $\{0, 1, \dots, s\}$ में मान लेता है। इसका संभाव्यता द्रव्यमान फलन (probability mass function) $p$ (सफलता की संभावना) और $q$ (विफलता की संभावना) द्वारा पैरामीटराइज्ड है, जिसमें 1 के योग को सुनिश्चित करने के लिए विशिष्ट प्रतिबंध लागू हैं।

   • $p \neq q$ और $p = q$ दोनों मामलों के लिए जनरेटिंग फंक्शन $G_X(t)$ व्युत्पन्न किया गया है।
   • प्रत्याशा (expectation) और प्रसरण (variance) के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान किए गए हैं।
   • यह पत्र इस वितरण के क्षणों (moments) और विस्तारित यूलर संख्याओं $A(n, k, s)$ के बीच एक संबंध स्थापित करता है। $p=q$ के मामले में, क्षणों को बर्नौली संख्याओं का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

2. बिसिनोमियल (Bisnomial) वितरण: $n$ बार स्वतंत्र रूप से $s$-बर्नोली प्रयोग को दोहराकर, लेखक बिसिनोमियल वितरण को परिभाषित करते हैं, जिसे $B^{(s)}(n, p)$ द्वारा दर्शाया जाता है। संभाव्यता द्रव्यमान फलन में बिसिनोमियल गुणांक $\binom{n}{k}_s$ शामिल हैं, जो $n$ पासों के बीच $k$ बिंदुओं को वितरित करने के तरीकों की गणना करते हैं जिनके $(s+1)$ फलक हैं।

   • बिसिनोमियल वितरण के लिए जनरेटिंग फंक्शन को $s$-बर्नोली जनरेटिंग फंक्शन की $n$-वीं घात के रूप में व्युत्पन्न किया गया है।
   • प्रत्याशा और प्रसरण के लिए सूत्र स्थापित किए गए हैं।
   • उच्च-क्रम के क्षणों को आंशिक बेल पॉलिनोमियल (partial Bell polynomials) का उपयोग करके व्यक्त किया गया है, जो इस वितरण को संयोजन संबंधी संरचनाओं से जोड़ता है।

मुख्य परिणाम: सीमित वितरण (Limiting Distributions)
इस शोध पत्र का मुख्य सैद्धांतिक योगदान $n \to \infty$ होने पर विशिष्ट सीमित स्थितियों के तहत बिसिनोमियल वितरण के अभिसरण (convergence) का प्रमाण है।

1. पॉइसन वितरण की ओर अभिसरण:
   लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि परीक्षणों की संख्या $n$ अनंत रूप से बढ़ती है जबकि योग का अपेक्षित मान स्थिर ($\lambda_s$) रहता है, तो बिसिनोमियल वितरण $\lambda_s$ पैरामीटर वाले पॉइसन वितरण की ओर अभिसरित होता है।

   • प्रमाण $n \to \infty$ होने पर पैरामीटर्स $p_n$ और $q_n$ के बीच संबंध को अनुमानित करने के लिए इम्प्लिसिट फंक्शन थ्योरम का उपयोग करता है।
   • इन मापदंडों को पावर सीरीज़ में विस्तारित करके और लेम्मा 5.2 (जो सामान्यीकृत बिसिनोमियल गुणांक $\binom{n}{k}_s / n^k$ के सीमा को स्थापित करता है) को लागू करके, लेखक प्रदर्शित करते हैं कि संभाव्यता द्रव्यमान फलन $\frac{\lambda_s^k}{k!} e^{-\lambda_s}$ की ओर अभिसरित होता है।
   • यह पत्र नोट करता है कि यह परिणाम ऐतिहासिक तर्कों का समर्थन करता है कि पॉइसन वितरण को डी मोइवर को दिया जाना चाहिए, क्योंकि उन्होंने 1711 में द्विपद वितरण के रूप में इसे प्राप्त किया था, जो पॉइसन के 1837 के कार्य से पूर्व का है।

2. सामान्य (Normal) वितरण की ओर अभिसरण:
   यह पत्र स्थापित करता है कि बड़े $n$ के लिए, बिसिनोमियल वितरण एक सामान्य वितरण का सन्निकटन (approximation) करता है।

   • मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन (MGF) विधि का उपयोग करते हुए, लेखक मानकीकृत चर $Z = \frac{X - E(X)}{\sigma_s}$ का विश्लेषण करते हैं।
   • MGF के टेलर सीरीज़ विस्तार के माध्यम से, वे दिखाते हैं कि जैसे-जैसे $n \to \infty$ होता है, $Z$ का MGF $e^{t^2/2}$ की ओर अभिसरित होता है, जो मानक सामान्य वितरण का MGF है।
   • यह पुष्टि करता है कि बिसिनोमियल वितरण एक केंद्रीय सीमा प्रमेय (Central Limit Theorem) का पालन करता है जो शास्त्रीय द्विपद मामले के समान है, जिसमें $s$-बर्नोली वितरण के मापदंडों से प्राप्त माध्य $\mu_s$ और प्रसरण $\sigma_s^2$ शामिल हैं।

महत्व और दावे
यह पत्र दावा करता है कि यह $(s+1)$ फलकों की सामान्य संख्या के लिए डी मोइवर प्रयोग का पहला व्यापक संभाव्यता मॉडल प्रदान करता है। $s$-बर्नोली और बिसिनोमियल वितरणों को पेश करके, लेखक शास्त्रीय द्विपद ढांचे को एक व्यापक संयोजन संबंधी सेटिंग तक विस्तारित करते हैं।

इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

• ऐतिहासिक संदर्भ: यह डी मोइवर के 1711 के संयोजन संबंधी लेम्मा और आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत के बीच के अंतर को पाटता है, उन वितरण नियमों को औपचारिक रूप से परिभाषित करता है जो पहले निहित थे।
• गणितीय सामान्यीकरण: यह द्विपद वितरण (जहाँ $s=1$) को बिसिनोमियल मामले में सामान्य करता है, जो यूलर और बेल पॉलिनोमियल से जुड़े क्षणों, जनरेटिंग फंक्शन और विषमता (skewness)/कुर्टोसिस (kurtosis) गुणांकों के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है।
• सीमित व्यवहार: यह कठोरता से सिद्ध करता है कि ये सामान्यीकृत वितरण पॉइसन और सामान्य वितरणों की ओर अभिसरित होते हैं, जिससे डी मोइवर प्रयोग को संभाव्यता सिद्धांत के मूलभूत सीमा प्रमेयों के साथ एकीकृत किया जाता है।

लेखक एक सीमित दायरे बनाए रखते हैं, जो प्रस्तुत गणितीय प्रमाणों के परे किसी भी नए प्रायोगिक अनुप्रयोग या भविष्य के निहितार्थों का प्रस्ताव किए बिना, विशेष रूप से इन वितरणों की परिभाषा, गुणों और सीमित मामलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।