The distribution of the de Moivre experiment

Resumo Técnico: A Distribuição do Experimento de de Moivre

Enunciado do Problema e Motivação
Este artigo aborda uma lacuna histórica na modelagem probabilística relativa ao "experimento de de Moivre". Enquanto Abraham de Moivre, em sua obra de 1711 The Doctrine of Chances, analisou o problema combinatório de determinar o número de maneiras de obter uma soma específica $k$ ao lançar $n$ dados com $(s+1)$ faces, a distribuição probabilística que rege este experimento não foi formalmente desenvolvida na literatura. Historicamente, o caso onde o número de faces é igual a 2 (o lançamento de uma moeda) levou às distribuições de Bernoulli e binomial, porém a generalização para uma distribuição uniforme sobre $\{0, 1, \dots, s\}$ (onde $s > 1$) permaneceu não modelada até que as expressões simplificadas para os coeficientes associados fossem estabelecidas nos anos 2000. Os autores visam formalizar este experimento, definir as leis de probabilidade associadas e investigar seus comportamentos limites.

Metodologia e Definições
O estudo procede definindo a variável aleatória fundamental e suas distribuições associadas:

1. A Distribuição $s$-Bernoulli: Os autores definem uma variável aleatória $X$ representando o resultado de um único dado com $(s+1)$ faces, tomando valores em $\{0, 1, \dots, s\}$. A função de massa de probabilidade é parametrizada por $p$ (probabilidade de sucesso) e $q$ (probabilidade de falha), com restrições específicas que garantem que a soma das probabilidades seja igual a 1.

   • A função geradora $G_X(t)$ é derivada para ambos os casos onde $p \neq q$ e $p = q$.
   • Fórmulas explícitas para esperança e variância são fornecidas.
   • O artigo estabelece uma relação entre os momentos desta distribuição e os números de Eulerian estendidos $A(n, k, s)$. Para o caso $p=q$, os momentos são expressos usando números de Bernoulli.

2. A Distribuição Bisnomial: Ao repetir o experimento $s$-Bernoulli $n$ vezes independentemente, os autores definem a distribuição bisnomial, denotada por $B^{(s)}(n, p)$. A função de massa de probabilidade envolve os coeficientes bisnoriais $\binom{n}{k}_s$, que contam o número de maneiras de distribuir $k$ pontos entre $n$ dados com $(s+1)$ faces.

   • A função geradora para a distribuição bisnomial é derivada como a $n$-ésima potência da função geradora $s$-Bernoulli.
   • Fórmulas para a esperança e variância são estabelecidas.
   • Momentos de ordem superior são expressos usando polinômios parciais de Bell, ligando a distribuição a estruturas combinatórias.

Resultados Principais: Distribuições Limites
A principal contribuição teórica do artigo é a prova de convergência para a distribuição bisnomial sob condições limites específicas conforme $n \to \infty$.

1. Convergência para a Distribuição de Poisson:
   Os autores provam que, se o número de tentativas $n$ aumenta indefinidamente enquanto o valor esperado da soma permanece constante ($\lambda_s$), a distribuição bisnomial converge para uma distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda_s$.

   • A prova utiliza o Teorema da Função Implícita para aproximar a relação entre os parâmetros $p_n$ e $q_n$ conforme $n \to \infty$.
   • Ao expandir esses parâmetros em séries de potências e aplicar o Lema 5.2 (que estabelece o limite do coeficiente bisnorial normalizado $\binom{n}{k}_s / n^k$), os autores demonstram que a função de massa de probabilidade converge para $\frac{\lambda_s^k}{k!} e^{-\lambda_s}$.
   • O artigo observa que este resultado apoia argumentos históricos de que a distribuição de Poisson deve ser atribuída a de Moivre, que a derivou como um limite da distribuição binomial em 1711, precedendo o trabalho de Poisson de 1837.

2. Convergência para a Distribuição Normal:
   O artigo estabelece que, para $n$ grande, a distribuição bisnomial aproxima-se de uma distribuição Normal.

   • Usando o método da Função Geradora de Momentos (MGF), os autores analisam a variável padronizada $Z = \frac{X - E(X)}{\sigma_s}$.
   • Através da expansão em série de Taylor da MGF, eles mostram que, conforme $n \to \infty$, a MGF de $Z$ converge para $e^{t^2/2}$, a MGF da distribuição normal padrão.
   • Isso confirma que a distribuição bisnomial satisfaz um Teorema Central do Limite análogo ao caso binomial clássico, com média $\mu_s$ e variância $\sigma_s^2$ derivadas dos parâmetros da distribuição $s$-Bernoulli.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer a primeira modelização probabilística abrangente do experimento de de Moivre para um número geral de faces $(s+1)$. Ao introduzir as distribuições $s$-Bernoulli e bisnomial, os autores estendem o framework binomial clássico para um cenário combinatório mais amplo.

A significância do trabalho reside em:

• Contexto Histórico: Ele preenche a lacuna entre o lema combinatório de de Moivre de 1711 e a teoria da probabilidade moderna, definindo formalmente as leis de distribuição que eram anteriormente implícitas.
• Generalização Matemática: Ele generaliza a distribuição binomial (onde $s=1$) para o caso bisnomial, fornecendo fórmulas explícitas para momentos, funções geradoras e coeficientes de assimetria/curtose envolvendo polinômios de Eulerian e de Bell.
• Comportamento Limite: Ele prova rigorosamente que estas distribuições generalizadas convergem para as distribuições de Poisson e Normal, unificando o experimento de de Moivre com os teoremas limites fundamentais da teoria da probabilidade.

Os autores mantêm um escopo modesto, focando estritamente na definição, propriedades e casos limites destas distribuições, sem propor novas aplicações experimentais ou implicações futuras além das provas matemáticas apresentadas.