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The distribution of the de Moivre experiment

Este artículo introduce las distribuciones de Bernoulli- $s$ y bi $^s$ nomial derivadas del experimento aleatorio de de Moivre, analiza sus propiedades probabilísticas y establece su convergencia a las distribuciones de Poisson y normal a medida que $n \to \infty$ .

Autores originales: Hacène Belbachir, Hamza Zeggada

Publicado 2026-06-16

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CC0 1.0

Autores originales: Hacène Belbachir, Hamza Zeggada

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Imagina que estás dirigiendo un juego de feria. En la versión clásica, tienes una moneda. La lanzas y cae en Cara (1) o Cruz (0). Si la lanzas muchas veces, los resultados siguen un patrón famoso llamado Distribución Binomial. Este es el modelo de "lanzamiento de moneda" que todo el mundo conoce.

Ahora, imagina que mejoras ese juego. En lugar de una moneda de dos caras, tienes un dado especial con $s+1$ caras. Digamos que las caras están numeradas del 0, 1, 2, hasta el $s$ . Cuando lanzas este dado, no solo obtienes un "éxito" o un "fracaso"; obtienes un número específico de puntos.

Este artículo trata sobre qué sucede cuando lanzas este dado especial $n$ veces y sumas todos los puntos que obtienes. El mundo de los dados de múltiples caras es lo que ellos llaman el experimento de de Moivre (nombrado así por un matemático del siglo XVIII que analizó problemas similares).

Aquí tienes un desgate de sus hallazgos en términos sencillos:

1. Las nuevas "reglas del dado" (La distribución s-Bernoulli)

Primero, analizaron un solo lanzamiento de este dado especial.

La forma antigua: Una moneda tiene dos resultados.
La nueva forma: Este dado tiene $s+1$ resultados (del 0 al $s$ ).
El giro: Las probabilidades de caer en un número alto no son necesariamente iguales. Los autores establecieron un sistema donde la probabilidad de obtener un número alto está vinculada a una probabilidad de "éxito" ( $p$ ) y una de "fracaso" ( $q$ ).
El resultado: Crearon una nueva fórmula (la distribución s-Bernoulli) para calcular el puntaje promedio y cuánto varían usualmente los puntajes (varianza) para este único lanzamiento. También determinaron cómo calcular la "asimetría" (¿es la curva desigual?) y la "curtosis" (¿es el pico agudo o plano?).

2. El gran puntaje (La distribución Bisnomial)

Después, se preguntaron: "¿Qué sucede si lanzo este dado $n$ veces y sumo el total de puntos?".

En el mundo de la moneda, sumar $n$ lanzamientos te da la Distribución Binomial.
En este nuevo mundo, sumar $n$ lanzamientos de este dado de $s+1$ caras te da la Distribución Bisnomial.
Demostraron que esta nueva distribución tiene su propio conjunto de reglas para calcular promedios, varianzas y patrones complejos (momentos). Incluso conectaron estos patrones con herramientas matemáticas sofisticadas llamadas números de Euler y polinomios de Bell, que son como códigos secretos que ayudan a los matemáticos a predecir la forma de los datos.

3. La transformación mágica (Convergencia)

La parte más emocionante del artículo es lo que sucede cuando juegas el juego un número enorme de veces (cuando $n$ tiende al infinito). Los autores muestran que este complejo juego de "dados de múltiples caras" comienza a parecerse a dos patrones muy famosos y más simples:

La transformación de eventos raros (Poisson):
Si el juego se configura de modo que obtener un puntaje alto sea muy raro (como ganar la lotería), pero juegas el juego millones de veces, el número total de puntajes altos que obtengas eventualmente seguirá la Distribución de Poisson.
- Analogía: Imagina contar cuántas veces aparece un número específico y raro en tu dado a lo largo de un millón de lanzamientos. Aunque el dado es complejo, el conteo de esos éxitos raros se estabiliza en un patrón simple y predecible conocido como la distribución de Poisson. Los autores demuestran que esto sucede incluso con sus nuevas reglas de "múltiples caras".
La transformación de la multitud (Distribución Normal):
Si juegas el juego muchas veces y los puntajes no son demasiado raros, la suma total de puntos comienza a formar una Curva de Campana perfecta (Distribución Normal).
- Analogía: Piensa en una multitud de personas. Si le preguntas a una persona su altura, es aleatorio. Pero si le preguntas a un millón de personas y promedias sus alturas, los resultados siempre forman una colina suave y simétrica. Los autores demuestran que no importa cuántas caras tenga tu dado, si lo lanzas lo suficiente, el puntaje total siempre formará esta colina perfecta. Esta es una versión del famoso "Teorema del Límite Central".

4. Por qué esto es importante (Según el artículo)

Los autores señalan que, mientras que el "lanzamiento de moneda" (2 caras) ha sido estudiado durante siglos, el "dado de múltiples caras" (más de 2 caras) ha sido ampliamente ignorado en la teoría de la probabilidad hasta ahora.

Básicamente, están diciendo: "Finalmente tenemos el manual de instrucciones completo para este tipo específico de juego de dados".
Proporcionan las fórmulas para calcular el promedio, la dispersión y la forma de los resultados.
Demuestran que, aunque este juego es más complejo que el lanzamiento de una moneda, sigue obedeciendo las mismas leyes últimas de la naturaleza (convergiendo a las distribuciones de Poisson y Normal) cuando se juega a gran escala.

En resumen: El artículo toma un complejo juego de dados de múltiples caras que nadie había modelado completamente antes, escribe las reglas para calcular las probabilidades y demuestra que, si se juega lo suficiente, se simplifica mágicamente en los dos patrones más famosos de la estadística: la distribución de Poisson (para eventos raros) y la distribución Normal (la Curva de Campana).

Resumen Técnico: La Distribución del Experimento de de Moivre

Planteamiento del Problema y Motivación
Este artículo aborda una laguna histórica en la modelización probabilística respecto al "experimento de de Moivre". Mientras que Abraham de Moivre, en su obra de 1711 The Doctrine of Chances, analizó el problema combinatorio de determinar el número de formas de obtener una suma específica $k$ al lanzar $n$ dados con $(s+1)$ caras, la distribución probabilística que rige este experimento no ha sido desarrollada formalmente en la literatura. Históricamente, el caso donde el número de caras es igual a 2 (el lanzamiento de una moneda) condujo a las distribuciones de Bernoulli y binomial, sin embargo, la generalización a una distribución uniforme sobre $\{0, 1, \dots, s\}$ (donde $s > 1$ ) permaneció sin modelar hasta que se establecieron las expresiones simplificadas para los coeficientes asociados en la década de 2000. Los autores pretenden formalizar este experimento, definir las leyes de probabilidad asociadas e investigar sus comportamientos límite.

Metodología y Definiciones
El estudio procede mediante la definición de la variable aleatoria fundamental y sus distribuciones asociadas:

La Distribución $s$ -Bernoulli: Los autores definen una variable aleatoria $X$ que representa el resultado de un solo dado con $(s+1)$ caras, que toma valores en $\{0, 1, \dots, s\}$ . La función de masa de probabilidad está parametrizada por $p$ (probabilidad de éxito) y $q$ (probabilidad de fracaso), con restricciones específicas que aseguran que la suma de las probabilidades sea 1.
- Se deriva la función generatriz $G_X(t)$ tanto para el caso en que $p \neq q$ como para el caso en que $p = q$ .
- Se proporcionan fórmulas explícitas para la esperanza y la varianza.
- El artículo establece una relación entre los momentos de esta distribución y los números de Euler extendidos $A(n, k, s)$ . Para el caso $p=q$ , los momentos se expresan utilizando números de Bernoulli.
La Distribución Bisnomial: Mediante la repetición independiente $n$ veces del experimento $s$ -Bernoulli, los autores definen la distribución bisnomial, denotada como $B^{(s)}(n, p)$ . La función de masa de probabilidad involucra los coeficientes bis binomiales $\binom{n}{k}_s$ , que cuentan el número de formas de distribuir $k$ puntos entre $n$ dados con $(s+1)$ caras.
- Se deriva la función generatriz de la distribución bisnomial como la $n$ -ésima potencia de la función generatriz $s$ -Bernoulli.
- Se establecen fórmulas para la esperanza y la varianza.
- Los momentos de orden superior se expresan utilizando polinomios de Bell parciales, vinculando la distribución con estructuras combinatorias.

Resultos Clave: Distribuciones Límite
La principal contribución teórica del artículo es la prueba de convergencia de la distribución bisnomial bajo condiciones límite específicas cuando $n \to \infty$ .

Convergencia a la Distribución de Poisson:
Los autores demuestran que si el número de ensayos $n$ aumenta indefinidamente mientras el valor esperado de la suma permanece constante ( $\lambda_s$ ), la distribución bisnomial converge a una distribución de Poisson con parámetro $\lambda_s$ .
- La prueba utiliza el Teorema de la Función Implícita para aproximar la relación entre los parámetros $p_n$ y $q_n$ conforme $n \to \infty$ .
- Mediante la expansión de estos parámetros en series de potencias y la aplicación del Lema 5.2 (que establece el límite del coeficiente bis binomial normalizado $\binom{n}{k}_s / n^k$ ), los autores demuestran que la función de masa de probabilidad converge a $\frac{\lambda_s^k}{k!} e^{-\lambda_s}$ .
- El artículo señala que este resultado respalda los argumentos históricos de que la distribución de Poisson debería atribuirse a de Moivre, ya que él la derivó como un límite de la distribución binomial en 1711, precediendo el trabajo de Poisson de 1837.
Convergencia a la Distribución Normal:
El artículo establece que para valores grandes de $n$ , la distribución bisnomial se aproxima a una distribución Normal.
- Utilizando el método de la Función Generatriz de Momentos (MGF), los autores analizan la variable estandarizada $Z = \frac{X - E(X)}{\sigma_s}$ .
- A través de la expansión en serie de Taylor de la MGF, muestran que, a medida que $n \to \infty$ , la MGF de $Z$ converge a $e^{t^2/2}$ , la MGF de la distribución normal estándar.
- Esto confirma que la distribución bisnomial satisface un Teorema del Límite Central análogo al caso binomial clásico, con media $\mu_s$ y varianza $\sigma_s^2$ derivadas de los parámetros de la distribución $s$ -Bernoulli.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar la primera modelización probabilística integral del experimento de de Moivre para un número general de caras $(s+1)$ . Al introducir las distribuciones $s$ -Bernoulli y bisnomial, los autores extienden el marco binomial clásico a un entorno combinatorio más amplio.

La significación del trabajo radica en:

Contexto Histórico: Cierra la brecha entre el lema combinatorio de de Moivre de 1711 y la teoría de la probabilidad moderna, definiendo formalmente las leyes de distribución que anteriormente eran implícitas.
Generalización Matemática: Generaliza la distribución binomial (donde $s=1$ ) al caso bisnomial, proporcionando fórmulas explícitas para momentos, funciones generatrices y coeficientes de asimetría y curtosis que involucran polinomios de Euler y de Bell.
Comportamiento Límite: Demuestra rigurosamente que estas distribuciones generalizadas convergen a las distribuciones de Poisson y Normal, unificando así el experimento de de Moivre con los teoremas fundamentales de los límites de la probabilidad.

Los autores mantienen un alcance modesto, centrándose estrictamente en la definición, las propiedades y los casos límite de estas distribuciones sin proponer nuevas aplicaciones experimentales o implicaciones futuras más allá de las pruebas matemáticas presentadas.

1. Las nuevas "reglas del dado" (La distribución s-Bernoulli)

2. El gran puntaje (La distribución Bisnomial)

3. La transformación mágica (Convergencia)

4. Por qué esto es importante (Según el artículo)

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