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The distribution of the de Moivre experiment

Cet article introduit les distributions de Bernoulli en $s$ et bi $^s$ nomiale dérivées de l'expérience aléatoire de de Moivre, analyse leurs propriétés probabilistes et établit leur convergence vers les distributions de Poisson et normale lorsque $n \to \infty$ .

Auteurs originaux : Hacène Belbachir, Hamza Zeggada

Publié 2026-06-16

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Auteurs originaux : Hacène Belbachir, Hamza Zeggada

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Imaginez que vous dirigiez un jeu de kermesse. Dans la version classique, vous avez une pièce de monnaie. Vous la lancez, et elle tombe soit sur Pile (1), soit sur Face (0). Si vous la lancez de nombreuses fois, les résultats suivent un modèle célèbre appelé la Loi Binomiale. C'est le modèle du « lancer de pièce » que tout le monde connaît.

Maintenant, imaginez que vous amélioriez ce jeu. Au lieu d'une pièce à deux faces, vous avez un dé spécial à $s+1$ faces. Disons que les faces sont numérotées de 0, 1, 2, jusqu'à $s$ . Lorsque vous lancez ce dé, vous n'obtenez pas seulement un « succès » ou un « échec » ; vous obtenez un nombre précis de points.

Ce document traite de ce qui se passe lorsque vous lancez ce dé spécial $n$ fois et que vous additionnez tous les points obtenus. Les auteurs, Belbachir et Zeggada, explorent les règles mathématiques qui régissent ce jeu à « multiples faces », qu'ils appellent l'expérience de de Moivre (nommée d'après un mathématicien du XVIIIe siècle qui a étudié des problèmes similaires).

Voici un aperçu de leurs découvertes en termes simples :

1. Les nouvelles règles du « dé » (La distribution s-Bernoulli)

D'abord, ils ont examiné un seul lancer de ce dé spécial.

L'ancienne méthode : Une pièce de monnaie a deux issues.
La nouvelle méthode : Ce dé possède $s+1$ issues (de 0 à $s$ ).
Le rebondissement : Les probabilités d'obtenir un chiffre élevé ne sont pas nécessairement égales. Les auteurs ont mis en place un système où la probabilité d'obtenir un score élevé est liée à une probabilité de « succès » ( $p$ ) et une probabilité d'« échec » ( $q$ ).
Le résultat : Ils ont créé une nouvelle formule (la distribution s-Bernoulli) pour calculer la moyenne des scores et la façon dont les scores varient habituellement (la variance) pour ce lancer unique. Ils ont également déterminé comment calculer l'asymétrie (skewness : la courbe est-elle déséquilibrée ?) et l'aplatissement (kurtosis : le sommet est-il pointu ou plat ?).

2. Le score total (La distribution Bisnomiale)

Ensuite, ils se sont demandé : « Que se passe-t-il si je lance ce dé $n$ fois et que j'additionne le total des points ? »

Dans le monde de la pièce de monnaie, l'addition de $n$ lancers donne la Loi Binomiale.
Dans ce nouveau monde, l'addition de $n$ lancers de ce dé à $s+1$ faces leur donne la Loi Bisnomiale.
Ils ont prouvé que cette nouvelle distribution possède ses propres règles pour calculer les moyennes, les variances et les motifs complexes (moments). Ils ont même lié ces motifs à des outils mathématiques sophistiqués appelés nombres eulériens et polynômes de Bell, qui sont comme des codes secrets aidant les mathématiciens à prédire la forme des données.

3. La transformation magique (Convergence)

La partie la plus excitante du document est ce qui se passe lorsque vous jouez à ce jeu un nombre immense de fois (lorsque $n$ tend vers l'infini). Les auteurs montrent que ce jeu de « dé multi-faces » complexe commence à ressembler à deux modèles beaucoup plus simples et célèbres :

La transformation par événement rare (Poisson) :
Si le jeu est configuré de telle sorte que l'obtention d'un score élevé est très rare (comme gagner à la loterie), mais que vous jouez au jeu des millions de fois, le nombre total de scores élevés que vous obtiendrez finira par suivre la Loi de Poisson.
- Analogie : Imaginez que vous comptiez combien de fois un chiffre spécifique et rare apparaît sur votre dé sur un million de lancers. Même si votre dé est complexe, le décompte de ces occurrences rares se stabilise selon un modèle simple et prévisible connu sous le nom de distribution de Poisson. Les auteurs prouvent que cela se produit même avec leurs nouvelles règles « multi-faces ».
La transformation par la foule (Loi Normale) :
Si vous jouez au jeu de nombreuses fois et que les scores ne sont pas trop rares, la somme totale des points commence à former une courbe en cloche parfaite (Loi Normale).
- Analogie : Pensez à une foule de personnes. Si vous demandez la taille d'une seule personne, c'est aléatoire. Mais si vous demandez la taille d'un million de personnes et que vous faites la moyenne, les résultats forment toujours une colline douce et symétrique. Les auteurs prouvent que peu importe le nombre de faces de votre dé, si vous le lancez suffisamment de fois, le score total formera toujours cette colline parfaite. C'est une version du célèbre « Théorème Central Limite ».

4. Pourquoi cela importe (Selon le document)

Les auteurs soulignent que si le « lancer de pièce » (2 faces) est étudié depuis des siècles, le « dé multi-faces » (plus de 2 faces) a été largement ignoré en théorie des probabilités jusqu'à présent.

Ils disent essentiellement : « Nous avons enfin le manuel d'instructions complet pour ce type spécifique de jeu de dés. »
Ils fournissent les formules pour calculer la moyenne, la dispersion et la forme des résultats.
Ils prouvent que même si ce jeu est plus complexe qu'un lancer de pièce, il obéit toujours aux mêmes lois ultimes de la nature (convergeant vers les distributions de Poisson et Normale) lorsqu'il est pratiqué à grande échelle.

En résumé : Le document prend un jeu de dés multi-faces complexe que personne n'avait pleinement modélisé auparavant, écrit les règles pour calculer les probabilités, et prouve que si on y joue assez longtemps, il se simplifie par magie en deux modèles statistiques les plus célèbres : la loi de Poisson (pour les événements rares) et la loi normale (la courbe en cloche).

Résumé Technique : La distribution de l'expérience de de Moivre

Énoncé du problème et motivation
Cet article traite d'une lacune historique dans la modélisation probabiliste concernant l'« expérience de de Moivre ». Alors qu'Abraham de Moivre, dans son ouvrage de 1711 The Doctrine of Chances, analysait le problème combinatoire consistant à déterminer le nombre de façons d'obtenir une somme spécifique $k$ en lançant $n$ dés possédant $(s+1)$ faces, la distribution probabiliste régissant cette expérience n'a pas été formellement développée dans la littérature. Historiquement, le cas où le nombre de faces est égal à 2 (le lancer de pièce) a conduit aux distributions de Bernoulli et binomiale. Cependant, la généralisation à une distribution uniforme sur $\{0, 1, \dots, s\}$ (où $s > 1$ ) est restée non modélisée jusqu'à ce que les expressions simplifiées des coefficients associés soient établies dans les années 2000. Les auteurs visent à formaliser cette expérience, à définir les lois de probabilité associées et à étudier leurs comportements limites.

Méthodologie et définitions
L'étude procède par la définition de la variable aléatoire fondamentale et de ses distributions associées :

La distribution $s$ -Bernoulli : Les auteurs définissent une variable aléatoire $X$ représentant le résultat d'un seul dé à $(s+1)$ faces, prenant des valeurs dans $\{0, 1, \dots, s\}$ . La fonction de masse de probabilité est paramétrée par $p$ (probabilité de succès) et $q$ (probabilité d'échec), avec des contraintes spécifiques garantissant que la somme des probabilités est égale à 1.
- La fonction génératrice $G_X(t)$ est dérivée pour les cas où $p \neq q$ et $p = q$ .
- Des formules explicites pour l'espérance et la variance sont fournies.
- L'article établit une relation entre les moments de cette distribution et les nombres eulériens étendus $A(n, k, s)$ . Pour le cas $p=q$ , les moments sont exprimés à l'aide des nombres de Bernoulli.
La distribution bisnomiale : En répétant l'expérience $s$ -Bernoulli $n$ fois de manière indépendante, les auteurs définissent la distribution bisnomiale, notée $B^{(s)}(n, p)$ . La fonction de masse de probabilité implique les coefficients bisnomials $\binom{n}{k}_s$ , qui comptent le nombre de façons de distribuer $k$ points parmi $n$ dés à $(s+1)$ faces.
- La fonction génératrice de la distribution bisnomiale est dérivée comme étant la $n$ -ième puissance de la fonction génératrice de la $s$ -Bernoulli.
- Des formules pour l'espérance et la variance sont établies.
- Les moments d'ordre supérieur sont exprimés à l'aide des polynômes de Bell partiels, liant la distribution à des structures combinatoires.

Résultats clés : Distributions limites
La principale contribution théorique de l'article est la preuve de la convergence de la distribution bisnomiale sous des conditions limites spécifiques lorsque $n \to \infty$ .

Convergence vers la distribution de Poisson :
Les auteurs prouvent que si le nombre d'essais $n$ augmente indéfiniment tandis que la valeur attendue de la somme reste constante ( $\lambda_s$ ), la distribution bisnomiale converge vers une distribution de Poisson avec le paramètre $\lambda_s$ .
- La preuve utilise le théorème des fonctions implicites pour approximer la relation entre les paramètres $p_n$ et $q_n$ lorsque $n \to \infty$ .
- En développant ces paramètres en séries de puissances et en appliquant le Lemme 5.2 (qui établit la limite du coefficient bisnomial normalisé $\binom{n}{k}_s / n^k$ ), les auteurs démontrent que la fonction de masse de probabilité converge vers $\frac{\lambda_s^k}{k!} e^{-\lambda_s}$ .
- L'article note que ce résultat soutient les arguments historiques selon lesquels la distribution de Poisson devrait être attribuée à de Moivre, car il l'a dérivée comme une limite de la distribution binomiale en 1711, avant les travaux de Poisson en 1837.
Convergence vers la distribution Normale :
L'article établit que pour de grandes valeurs de $n$ , la distribution bisnomiale approxime une distribution Normale.
- En utilisant la méthode de la Fonction Génératrice des Moments (FGM), les auteurs analysent la variable standardisée $Z = \frac{X - E(X)}{\sigma_s}$ .
- À travers le développement en série de Taylor de la FGM, ils montrent que lorsque $n \to \infty$ , la FGM de $Z$ converge vers $e^{t^2/2}$ , la FGM de la distribution normale centrée réduite.
- Cela confirme que la distribution bisnomiale satisfait un théorème central limite analogue au cas binomial classique, avec une moyenne $\mu_s$ et une variance $\sigma_s^2$ dérivées des paramètres de la distribution $s$ -Bernoulli.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir la première modélisation probabiliste complète de l'expérience de de Moivre pour un nombre général de faces $(s+1)$ . En introduisant les distributions $s$ -Bernoulli et bisnomiale, les auteurs étendent le cadre binomial classique à un cadre combinatoire plus large.

La portée de ce travail réside dans :

Contexte historique : Il comble le fossé entre le lemme combinatoire de de Moivre de 1711 et la théorie moderne des probabilités, en définissant formellement les lois de distribution qui étaient auparavant implicites.
Généralisation mathématique : Il généralise la distribution binomiale (où $s=1$ ) au cas bisnomial, fournissant des formules explicites pour les moments, les fonctions génératrices ainsi que les coefficients d'asymétrie et de kurtosis impliquant les polynômes eulériens et de Bell.
Comportement limite : Il prouve rigoureusement que ces distributions généralisées convergent vers les distributions de Poisson et Normale, unifiant ainsi l'expérience de de Moivre avec les théorèmes limites fondamentaux de la théorie des probabilités.

Les auteurs maintiennent un champ d'application modeste, se concentrant strictement sur la définition, les propriétés et les cas limites de ces distributions sans proposer de nouvelles applications expérimentales ou d'implications futures au-delà des preuves mathématiques présentées.

1. Les nouvelles règles du « dé » (La distribution s-Bernoulli)

2. Le score total (La distribution Bisnomiale)

3. La transformation magique (Convergence)

4. Pourquoi cela importe (Selon le document)

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