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On concatenations of two $k$ -generalized Pell numbers

यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि दो $k$ -सामान्यीकृत पेल संख्याओं का संयोजन केवल उस विशिष्ट मामले में एक तीसरी ऐसी संख्या के बराबर होता है जहाँ $k=2$ और संख्याएँ 1 और 2 हैं, जबकि $k \ge 3$ के लिए कोई समाधान मौजूद नहीं है।

मूल लेखक: Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

प्रकाशित 2026-06-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक विशेष मशीन है जो संख्याओं का एक अनुक्रम (sequence) उत्पन्न करती है, जैसे कि एक डिजिटल काउंटर जो नियमों के एक बहुत ही सख्त सेट का पालन करता है। इस शोध पत्र में, लेखक k-सामान्यीकृत पेल संख्याओं (k-generalized Pell numbers) नामक एक विशिष्ट प्रकार के संख्या जनरेटर की जांच कर रहे हैं।

इन संख्याओं को इस परिवार के सदस्य के रूप में सोचें। इस परिवार का सबसे प्रसिद्ध सदस्य "क्लासिक" पेल अनुक्रम (जहाँ $k=2$ है) है, जो पिछले नंबर में उससे पहले वाले नंबर के दोगुने को जोड़कर बढ़ता है। लेकिन इस परिवार में इसके कई अन्य संस्करण (जहाँ $k=3, 4, 5$ , आदि है) भी हैं, जिनमें से प्रत्येक के बढ़ने के नियम थोड़े अलग हैं।

मुख्य प्रश्न: "गोंद" परीक्षण (The "Glue" Test)

लेखक एक पहेली को हल करना चाहते थे: क्या आप इस अनुक्रम से दो संख्याओं को ले सकते हैं और उन्हें एक साथ "गोंद" (glue) लगाकर एक तीसरी संख्या बना सकते हैं जो उसी अनुक्रम की हो?

गणित की भाषा में, "गोंद लगाने" का अर्थ है संयोजन (concatenation)। यदि आपके पास संख्या 1 और संख्या 2 है, तो उन्हें जोड़ने से 12 बनता है। यदि आपके पास 5 और 5 है, तो आपको 55 प्राप्त होता है।

वह समीकरण जिसका वे परीक्षण कर रहे हैं वह इस प्रकार है:
$\text{संख्या}_A = \text{संख्या}_B \text{ के साथ जुड़ी हुई } \text{संख्या}_C$

उदाहरण के लिए, यदि आप क्लासिक अनुक्रम की चौथी संख्या (जो कि 12 है) लेते हैं, तो क्या आप उसी अनुक्रम में दो अन्य संख्याएँ पा सकते हैं जो, आपस में जुड़कर, 12 बनाती हों?

हाँ! पहली संख्या 1 है, और दूसरी संख्या 2 है। उन्हें जोड़ें: 1 और 2 मिलकर 12 बनते हैं।
इसलिए, $12 = 1 \parallel 2$ एक समाधान है।

जांच (The Investigation)

लेखकों ने इस "गोंद" पहेली के लिए हर संस्करण (प्रत्येक $k$ के मान के लिए) के लिए सभी संभावित समाधान खोजने के लिए इस शोध पत्र पर काम किया।

उन्होंने इसे इस प्रकार विभाजित किया:

1. "छोटी संख्याओं" की जाँच ( $k=2$ )
सबसे पहले, उन्होंने क्लासिक अनुक्रम ( $k=2$ ) को देखा। उन्होंने पाया कि यह "गोंद" वाला चमत्कार केवल ऊपर बताए गए एक उदाहरण में ही काम करता है: 12, 1 और 2 से बना है। इस क्लासिक अनुक्रम में कोई अन्य संख्या नहीं है जिसे दो अन्य संख्याओं को जोड़कर बनाया जा सके।

2. "बड़ी संख्याओं" की जाँच ( $k \ge 3$ )
इसके बाद, उन्होंने अधिक जटिल संस्करणों (जहाँ $k$ 3 या उससे अधिक है) को देखा। ये अनुक्रम बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं और अलग तरह से व्यवहार करते हैं।

परिकल्पना (The Hypothesis): उन्हें संदेह था कि इन जटिल अनुक्रमों के लिए, यह "गोंद" वाला चमत्कार कभी काम नहीं करता है।
प्रमाण (The Proof): उन्होंने एक शक्तिशाली गणितीय टूलकिट का उपयोग किया जिसमें शामिल हैं:
- क्रिस्टल बॉल मैथ (Binet Formulas): ऐसे सूत्र जो एक-एक करके गिनती करने के बजाय अनुक्रम में एक संख्या क्या होगी, इसकी सटीक भविष्यवाणी करते हैं।
- "गिनती से बाहर" की समस्या (The "Too Big to Count" Problem): उन्होंने सिद्ध किया कि यदि कोई समाधान मौजूद होता, तो वे संख्याएँ इतनी विशाल होतीं—इतनी विशाल कि वे इन अनुक्रमों के बढ़ने के नियमों को ही तोड़ देतीं।
- "गणितीय दबाव" (The "Mathematical Squeeze" - Reduction): चूंकि वे हर एक विशाल संख्या की जाँच नहीं कर सकते थे, इसलिए उन्होंने उन्नत तकनीकों (जैसे LLL एल्गोरिदम और निरंतर भिन्न/continued fractions) का उपयोग करके संभावित उत्तरों को "दबाकर" छोटा किया। उन्होंने दिखाया कि भले ही कोई समाधान मौजूद हो, उसे एक निश्चित सीमा से छोटा होना होगा।
- अंतिम स्वीप (The Final Sweep): एक बार जब उन्होंने संभावनाओं को एक प्रबंधनीय आकार तक कम कर दिया, तो उन्होंने प्रत्येक शेष उम्मीदवार की जाँच करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग किया।

परिणाम

सारा भारी काम करने के बाद, निष्कर्ष निर्णायक था:

क्लासिक अनुक्रम ( $k=2$ ) के लिए: केवल एक समाधान है: $12 = 1 \parallel 2$ ।
सभी अन्य अनुक्रमों ( $k \ge 3$ ) के लिए: शून्य समाधान हैं। आप उन्हीं अनुक्रमों की दो संख्याओं को जोड़कर उसी अनुक्रम की कोई अन्य संख्या नहीं बना सकते।

सरल रूपकों में

कल्पित कीजिए कि k-सामान्यीकृत पेल संख्याएँ लेगो (Lego) ब्रिक्स के विभिन्न प्रकार हैं।

क्लासिक ( $k=2$ ) ब्रिक्स विशेष हैं। आप एक छोटे "1" ब्रिक और एक छोटे "2" ब्रिक को एक साथ जोड़कर पूरी तरह से एक "12" ब्रिक बना सकते हैं। लेकिन यह केवल एक ही बार काम करता है।
जटिल ( $k \ge 3$ ) ब्रिक्स अलग आकार के हैं। लेखकों ने सिद्ध किया है कि चाहे आप इन ब्रिक्स में से किन्हीं भी दो को जोड़ने की कोशिश करें, वे कभी भी ऐसे आकार नहीं बनाएंगे जो उस सेट के किसी अन्य ब्रिक से मेल खाता हो। उनके आकार इस तरह से फिट नहीं होते।

सारांश: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि "गोंद लगाने" की घटना एक दुर्लभ विचित्रता है जो केवल इन संख्याओं के क्लासिक संस्करण में एक बार होती है और इसके अधिक जटिल संस्करणों में कभी नहीं होती है।

तकनीकी सारांश: दो k-सामान्यीकृत पेल संख्याओं के संयोजन (Concatenations) पर

समस्या विवरण
यह शोध पत्र $k$ -सामान्यीकृत पेल संख्याओं (denote: $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$ ) के अनुक्रम के दो पदों के संयोजन से संबंधित डायोफेंटाइन समीकरण की जांच करता है। इस अनुक्रम को रैखिक पुनरावृत्ति (linear recurrence) $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ $n \ge 2$ के लिए $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ और $P^{(k)}_1 = 1$ प्रारंभिक स्थितियाँ हैं।

विशिष्ट समस्या समीकरण के सभी पूर्णांक समाधानों को खोजने की है:
$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$
जहाँ $n > m$ , $p \ge 0$ , और $d$ $P^{(k)}_p$ के दशमलव अंकों की संख्या को दर्शाता है (अर्थात, $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$ )। यह समीकरण $P^{(k)}_m$ और $P^{(k)}_p$ के दशमलव निरूपणों के संयोजन (concatenation) द्वारा $P^{(k)}_n$ के निर्माण को मॉडल करता है।

कार्यप्रणाली
लेखक इस समस्या को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत (analytic number theory), डायोफेंटाइन सन्निकटन (Diophantine approximation), और कम्प्यूटेशनल सत्यापन के संयोजन का उपयोग करते हैं। कार्यप्रणाली निम्नलिखित विशिष्ट चरणों में आगे बढ़ती है:

प्रारंभिक सीमाएँ और गुण:
अध्ययन विशेषता बहुपद (characteristic polynomial) $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$ के प्रमुख मूल (dominant root) $\alpha$ के गुणों का उपयोग करता है। यह स्थापित किया गया है कि $\alpha$ इकाई वृत्त (unit circle) के बाहर का एकमात्र मूल है। लेखक $P^{(k)}_n$ को $g_k(\alpha)\alpha^n$ के रूप में अनुमानित करने के लिए बाइनरी-टाइप सूत्रों (Binet-type formulas) और ब्रावो एट अल. के कार्य से प्राप्त सीमाओं का उपयोग करते हैं, जहाँ $g_k(z)$ एक विशिष्ट परिमेय फलन है।
लॉग्स के रैखिक रूप (Baker's Method):
सूचकांकों $n, m, p$ पर ऊपरी सीमाएँ स्थापित करने के लिए, शोध पत्र बीजगणकीय संख्याओं के लॉग्स के रैखिक रूपों पर माटवेव के प्रमेय (Matveev's theorem) को लागू करता है। संयोजन समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके, लेखक $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ और समान अभिव्यक्तियों वाले पदों से संबंधित असमानताओं को व्युत्पन्न करते हैं। माटवेव का प्रमेय इन गैर-शून्य रैखिक रूपों के लिए एक निचली सीमा प्रदान करता है, जो जब पेल संख्याओं के सन्निकटन से प्राप्त ऊपरी सीमाओं के साथ तुलना की जाती है, तो $k$ के संदर्भ में $n$ के लिए एक बहुपद सीमा (polynomial bound) प्रदान करती है। विशेष रूप से, $k \ge 3$ के लिए, यह दिखाया गया है कि $n < 4.6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$ है।
न्यूनीकरण प्रक्रियाएँ (Reduction Procedures):
माटवेव के प्रमेय के माध्यम से प्राप्त प्रारंभिक सीमाएँ कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यवहार्य हैं। लेखक इन सीमाओं को निम्नानुसार कम करते हैं:

निरंतर भिन्न (Continued Fractions): $\log \alpha / \log 10$ और $\log 2 / \log 10$ से संबंधित रैखिक रूपों के लिए बेकर-डेवनपोर्ट न्यूनीकरण पद्धति (विशेष रूप से डुजेला और पेथो द्वारा विकसित संस्करण) और लेजेंड्रे के मानदंड को लागू करना।
LLL एल्गोरिदम: कई चरों और बड़े गुणांकों वाले रैखिक रूपों को संभालने के लिए लेंट्रा-लेंस्ट्रा-लोवास (LLL) लैटिस बेसिस रिडक्शन एल्गोरिदम का उपयोग करना, विशेष रूप से बड़े $k$ के मामले में।

मामला विश्लेषण और कम्प्यूटेशनल खोज:
प्रमाण को $k$ के दो मुख्य श्रेणियों में विभाजित किया गया है:

छोटा $k$ ( $2 \le k \le 500$ ): न्यूनीकरण प्रक्रियाएँ $n$ के लिए सीमा को एक प्रबंधनीय सीमा ( $n \le 170$ ) तक कम कर देती हैं। इसके बाद इन श्रेणियों की जाँच करने के लिए एक सीधा कंप्यूटर खोज (direct computer search) किया जाता है।
बड़ा $k$ ( $k > 500$ ): लेखक $P^{(k)}_n$ के लिए कूपर-हावर्ड विस्तार (Cooper-Howard expansion) का उपयोग करते हैं (जो $n < 2k/2$ के लिए मान्य है) ताकि पदों को 2 की घातों का उपयोग करके अनुमानित किया जा सके। यह $\log 2$ और $\log 10$ वाले रैखिक रूपों के विश्लेषण के लिए एक अलग विश्लेषण की अनुमति देता है। LLL एल्गोरिदम और निरंतर भिन्न न्यूनीकरण के पुनरावृत्त अनुप्रयोगों के माध्यम से, $k$ और $n$ की सीमाओं को प्रगतिशील रूप से तब तक कड़ा किया जाता है जब तक कि एक विरोधाभास तक नहीं पहुँच जाता जब $k > 500$ हो।

मुख्य परिणाम
शोध पत्र संयोजन समीकरण के समाधानों के संबंध में निम्नलिखित प्रमेय स्थापित करता है:

मामला $k = 2$ : एकमात्र समाधान $(n, m, p) = (4, 1, 2)$ है। यह शास्त्रीय पेल संख्याओं के अनुरूप है जहाँ $P_4 = 12$ , जो $P_1 = 1$ और $P_2 = 2$ के संयोजन (अर्थात, $12 = 1 \parallel 2$ ) को दर्शाता है।
मामला $k \ge 3$ : समीकरण के लिए कोई समाधान नहीं है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र रैखिक पुनरावृत्ति अनुक्रमों के पदों के संयोजन से संबंधित व्यापक डायोफेंटाइन समस्याओं के क्षेत्र में योगदान देता है। जबकि पिछले कार्यों ने फाइबोनैची संख्याओं (बैंक्स और लुका), लुकास संख्याओं (एर्डुवन), और $k$ -सामान्यीकृत फाइबोनैची/लुकास संख्याओं (अल्टासैन और अलान; तुमवेसिग्ये एट अल.) के लिए समान समस्याओं को संबोधित किया है, यह कार्य $k$ -सामान्यीकृत पेल अनुक्रम के विश्लेषण का विस्तार करता है।

लेखक दावा करते हैं कि उन्होंने सभी $k \ge 2$ के लिए समाधानों को पूरी तरह से निर्धारित कर दिया है। इसका महत्व उन्नत ट्रांसेंडेंटल नंबर थ्योरी उपकरणों (माटवेव के प्रमेय) के कठोर अनुप्रयोग के साथ मिलकर कम्प्यूटेशनल न्यूनीकरण तकनीकों (LLL और निरंतर भिन्न) के उपयोग में निहित है, जिसने एक विशिष्ट डायोफेंटाइन समीकरण को हल किया है जो पेल परिवार के लिए पहले हल नहीं किया गया था। यह परिणाम शास्त्रीय पेल अनुक्रम ( $k=2$ ) और इसके उच्च-क्रम सामान्यीकरणों ( $k \ge 3$ ) के बीच व्यवहार में एक विचलन को रेखांकित करता है, जहाँ ऐसी कोई संयोजन विशेषता मौजूद नहीं है।

मुख्य प्रश्न: "गोंद" परीक्षण (The "Glue" Test)

जांच (The Investigation)

परिणाम

सरल रूपकों में

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