On concatenations of two $k$-generalized Pell numbers

Sintesi Tecnica: Sulle Concatenazioni di due numeri di Pell $k$-generalizzati

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'equazione diofante riguardante la concatenazione di due termini della successione dei numeri di Pell $k$-generalizzati, indicata con $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$. La successione è definita dalla ricorrenza lineare $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ per $n \ge 2$, con condizioni iniziali $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ e $P^{(k)}_1 = 1$.

Il problema specifico consiste nel trovare tutte le soluzioni intere all'equazione:
$$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$$
dove $n > m$, $p \ge 0$, e $d$ rappresenta il numero di cifre decimali di $P^{(k)}_p$ (ovvero $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$). Questa equazione modella la concatenazione delle rappresentazioni decimali di $P^{(k)}_m$ e $P^{(k)}_p$ per formare $P^{(k)}_n$.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di teoria analitica dei numeri, approssimazione diofante e verifica computazionale per risolvere il problema. La metodologia procede attraverso diverse fasi distinte:

1. Limiti Preliminari e Proprietà:
   Lo studio utilizza le proprietà della radice dominante $\alpha$ del polinomio caratteristico $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$. Si stabilisce che $\alpha$ è l'unica radice al di fuori del cerchio unitario. Gli autori utilizzano formule di tipo Binet e limiti derivati dal lavoro di Bravo et al. per approssimare $P^{(k)}_n$ come $g_k(\alpha)\alpha^n$, dove $g_k(z)$ è una specifica funzione razionale.

2. Forme Lineari in Logaritmi (Metodo di Baker):
   Per stabilire i limiti superiori sugli indici $n, m, p$, l'articolo applica il teorema di Matveev sulle forme lineari in logaritmi di numeri algebrici. Riorganizzando l'equazione di concatenazione, gli autori derivano disuguaglianze che coinvolgono termini della forma $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ e simili. Il teorema di Matveev fornisce un limite inferiore per queste forme lineari non nulle, che, confrontato con i limiti superiori derivati dall'approssimazione dei numeri di Pell, fornisce un limite polinomiale per $n$ in funzione di $k$. Nello specifico, per $k \ge 3$, si dimostra che $n < 4.6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$.

3. Procedure di Riduzione:
   I limiti iniziali ottenuti tramite il teorema di Matveev sono computazionalmente intrattabili. Gli autori riducono tali limiti utilizzando:

• Frazioni Continue: Applicando il metodo di riduzione di Baker-Davenport (specificamente la variante di Dujella e Pethő) e il criterio di Legendre alle forme lineari che coinvolgono $\log \alpha / \log 10$ e $\log 2 / \log 10$.
• Algoritmo LLL: Utilizzando l'algoritmo di riduzione della base di reticoli Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) per gestire forme lineari con molteplici variabili e coefficienti elevati, particolarmente nel caso di $k$ grande.

4. Analisi dei Casi e Ricerca Computazionale:
   La dimostrazione è divisa in due intervalli principali per $k$:

• Piccolo $k$ ($2 \le k \le 500$): Le procedure di riduzione abbassano il limite per $n$ a un intervallo gestibile ($n \le 170$). Viene quindi eseguita una ricerca computazionale diretta su questi intervalli per verificare la presenza di soluzioni.
• Grande $k$ ($k > 500$): Gli autori utilizzano l'espansione di Cooper-Howard per $P^{(k)}_n$ (valida per $n < 2k/2$) per approssimare i termini usando potenze di 2. Ciò consente un'analisi separata delle forme lineari che coinvolgono $\log 2$ e $\log 10$. Attraverso applicazioni iterative dell'algoritmo LLL e riduzioni tramite frazioni continue, i limiti su $k$ e $n$ vengono progressivamente ristretti finché non si raggiunge una contraddizione per $k > 500$.

Risultati Chiave
L'articolo stabilisce il seguente teorema riguardante le soluzioni dell'equazione di concatenazione:

• Caso $k = 2$: L'unica soluzione è $(n, m, p) = (4, 1, 2)$. Ciò corrisponde ai classici numeri di Pell dove $P_4 = 12$, che è la concatenazione di $P_1 = 1$ e $P_2 = 2$ (ovvero $12 = 1 \parallel 2$).
• Caso $k \ge 3$: Non esistono soluzioni all'equazione.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo contribuisce al campo più ampio dei problemi diofanti riguardanti le concatenazioni di termini in successioni a ricorrenza lineare. Mentre lavori precedenti hanno affrontato problemi simili per i numeri di Fibonacci (Banks e Luca), i numeri di Lucas (Erdővan) e i numeri di Fibonacci/Lucas $k$-generalizzati (Altassan e Alan; Tumwesigye et al.), questo lavoro estende l'analisi alla successione di Pell $k$-generalizzata.

Gli autori rivendicano di aver determinato completamente le soluzioni per tutti i $k \ge 2$. La significatività risiede nell'applicazione rigorosa di strumenti avanzati della teoria trascendente dei numeri (teorema di Matveev) combinata con tecniche di riduzione computazionale (LLL e frazioni continue) per risolvere una specifica equazione diofante che non era stata precedentemente risolta per la famiglia di Pell. Il risultato evidenzia una divergenza nel comportamento tra la classica successione di Pell ($k=2$) e le sue generalizzazioni di ordine superiore ($k \ge 3$), dove non esistono tali proprietà di concatenazione.