On concatenations of two $k$-generalized Pell numbers

技術要約：2つのk-一般化ペル数における連結について

問題の定義
本論文は、$k$-一般化ペル数列（$(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$と表記）の2つの項の連結に関するディオファントス方程式を調査するものである。この数列は、漸化式 $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ （$n \ge 2$）によって定義され、初期条件は $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ および $P^{(k)}_1 = 1$ である。

具体的な問題は、以下の方程式を満たす整数解 $(n, m, p)$ をすべて求めることである：
$$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$$
ここで、$n > m$、$p \ge 0$ であり、$d$ は $P^{(k)}_p$ の十進表記の桁数（すなわち $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$）を表す。この方程式は、$P^{(k)}_m$ と $P^{(k)}_p$ の十進表示の連結によって $P^{(k)}_n$ が形成されるモデルとなっている。

手法
著者らは、解析的数論、ディオファントス近似、および計算による検証を組み合わせてこの問題を解決している。その手法は、以下の明確な段階を経て進行する：

1. 予備的な境界と性質：
   本研究は、特性多項式 $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$ の優位根 $\alpha$ の性質を利用する。$\alpha$ は単位円の外側にある唯一の根であることが確立されている。著者らは、Binet型の公式と、Bravoらによる研究から導かれた境界を用いて、$P^{(k)}_n$ を $g_k(\alpha)\alpha^n$（ここで $g_k(z)$ は特定の有理関数）として近似する。

2. 対数における線形形式（ベーカーの手法）：
   指数 $n, m, p$ の上界を確立するために、本論文では代数的数における対数の線形形式に関するMatveevの定理を適用する。連結の方程式を整理することで、著者らは $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ やそれに類する項を含む不等式を導出する。Matveevの定理は、これらの非ゼロの線形形式に対して下界を与える。これをペル数の近似から得られる上界と比較することで、$k$ に関する $n$ の多項式境界が得られる。具体的には、$k \ge 3$ の場合、$n < 4.6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$ であることが示される。

3. 簡約手順：
   Matveevの定理によって得られた初期の境界は、計算上扱いにくい。著者らは、以下の手法を用いてこれらの境界を簡約する：

   • 連分数展開： $\log \alpha / \log 10$ および $\log 2 / \log 10$ に関する線形形式に対して、Baker-Davenport簡約法（特にDujellaとPethőによる変種）およびLegendreの判定基準を適用する。
   • LLLアルゴリズム： 多変数かつ大きな係数を持つ線形形式、特に大きな $k$ の場合に対処するため、Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) 格子基底簡約アルゴリズムを利用する。

4. ケース分析と計算探索：
   証明は、$k$ の2つの主要な範囲に分割される：

   • 小さな $k$ ($2 \le k \le 500$)： 簡約手順により、境界を管理可能な範囲（$n \le 170$）まで下げ、その後、これらの範囲に対してコンピュータによる直接探索を行い、解の有無を確認する。
   • 大きな $k$ ($k > 500$)： 著者らは、$P^{(k)}_n$ のCooper-Howard展開（$n < 2k/2$ で有効）を利用して、項を2の冪乗を用いて近似する。これにより、$\log 2$ と $\log 10$ に関する線形形式の別個の分析が可能になる。LLLアルゴリズムと連分数簡約を繰り返し適用することで、$k > 500$ において矛盾に達するまで、$k$ と $n$ の境界を段階的に絞り込んでいく。

主な結果
本論文は、連結の方程式に関する以下の定理を確立している：

• $k = 2$ の場合： 解は $(n, m, p) = (4, 1, 2)$ のみである。これは古典的なペル数に対応しており、$P_4 = 12$ は $P_1 = 1$ と $P_2 = 2$ の連結（すなわち $12 = 1 \parallel 2$）である。
• $k \ge 3$ の場合： この方程式には解が存在しない。

意義と主張
本論文は、線形回帰数列の項の連結に関するより広範なディオファントス問題の分野に貢献するものである。先行研究では、フィボナッチ数（Banks and Luca）、リュカ数（Erdővan）、および $k$-一般化フィボナッチ/リュカ数（Altassan and Alan; Tumwesigye et al.）における同様の問題が扱われてきたが、本研究はこれを $k$-一般化ペル数列へと拡張した。

著者らは、$k \ge 2$ のすべての $k$ について解を完全に決定したと主張している。その意義は、高度な超越数論の道具（Matveevの定理）と、計算による簡約技術（LLLおよび連分数）を組み合わせることで、ペル族において未解決であった特定のディオファントス方程式を解決した点にある。この結果は、古典的なペル数列（$k=2$）と、そのような連結特性を持たない高次の一般化（$k \ge 3$）との間の挙動の違いを浮き彫りにしている。