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On concatenations of two $k$ -generalized Pell numbers

Diese Arbeit beweist, dass die Konkatenation zweier $k$ -verallgemeinerter Pell-Zahlen nur im spezifischen Fall gleich der dritten solchen Zahl ist, wenn $k=2$ und die Zahlen 1 und 2 sind, während für $k \ge 3$ keine Lösungen existieren.

Ursprüngliche Autoren: Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

Veröffentlicht 2026-06-16

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie haben eine spezielle Maschine, die eine Zahlenfolge generiert, wie etwa einen digitalen Zähler, der einem sehr strengen Regelwerk folgt. In dieser Arbeit untersuchen die Autoren eine bestimmte Art von Zahlen-Generator, die man k-verallgemeinerte Pell-Zahlen nennt.

Betrachten Sie diese Zahlen als eine Familie von Folgen. Das bekannteste Mitglied dieser Familie ist die „klassische“ Pell-Folge (bei $k=2$ ), die wächst, indem man die vorherige Zahl zu dem Doppelten der davorliegenden Zahl addiert. Aber diese Zahlenfamilie hat viele andere Versionen (mit $k=3, 4, 5$ usw.), die jeweils etwas andere Regeln für ihre Wachstumsgeschwindigkeit haben.

Die große Frage: Der „Klebe“-Test

Die Autoren wollten ein Rätsel lösen: Kann man zwei Zahlen aus dieser Folge nehmen und sie zu einer dritten Zahl aus derselben Folge „zusammenkleben“?

In mathematischen Begriffen bedeutet „Kleben“ Konkatenation (Aneinanderreihung). Wenn man die Zahl 1 und die Zahl 2 hat, ergibt das Zusammenkleben die Zahl 12. Wenn man 5 und 5 hat, erhält man 55.

Die Gleichung, die sie testen, sieht so aus:
$\text{Zahl}_A = \text{Zahl}_B \text{ geklebt an } \text{Zahl}_C$

Wenn man zum Beispiel die 4. Zahl der klassischen Folge (welche 12 ist) nimmt, kann man dann zwei andere Zahlen in derselben Folge finden, die, wenn man sie zusammenklebt, 12 ergeben?

Ja! Die 1. Zahl ist 1, und die 2. Zahl ist 2. Kleben wir sie zusammen: 1 und 2 werden zu 12.
Also ist $12 = 1 \parallel 2$ eine Lösung.

Die Untersuchung

Die Autoren haben versucht, alle möglichen Lösungen für dieses „Klebe“-Rätsel für jede Version der Folge (für jeden Wert von $k$ ) zu finden.

Hier ist ihre Vorgehensweise:

1. Der „Kleine Zahlen“-Check ( $k=2$ )
Zuerst betrachteten sie die klassische Folge ( $k=2$ ). Sie fanden heraus, dass dieser „Klebe“-Trick nur in dem oben genannten Beispiel funktioniert: 12 wird aus 1 und 2 gemacht. Keine andere Zahl in dieser klassischen Folge kann durch das Zusammenkleben zweier anderer Zahlen gebildet werden.

2. Der „Große Zahlen“-Check ( $k \ge 3$ )
Als Nächstes untersuchten sie die komplexeren Versionen der Folge (wo $k$ gleich 3 oder höher ist). Diese Folgen wachsen viel schneller und verhalten sich anders.

Die Hypothese: Sie vermuteten, dass dieser „Klebe“-Trick für diese komplexen Folgen niemals funktioniert.
Der Beweis: Sie nutzten ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeugkasten, bestehend aus:
- Kristallkugel-Mathematik (Binet-Formeln): Formeln, die exakt vorhersagen, was eine Zahl in der Folge sein wird, ohne dass man sie einzeln durchzählen muss.
- Das „Zu groß zum Zählen“-Problem: Sie bewiesen, dass, falls eine Lösung existieren sollte, die Zahlen astronomisch groß sein müssten – so groß, dass sie die Gesetze des Wachstums dieser Folgen verletzen würden.
- Der „Mathematische Druck“ (Reduktion): Da sie nicht jede einzelne riesige Zahl prüfen konnten, nutzten sie fortgeschrittene Techniken (wie den LLL-Algorithmus und gebrochene Brüche), um die möglichen Antworten „zusammenzupressen“. Sie zeigten, dass selbst wenn eine Lösung existierte, sie kleiner als ein bestimmtes Limit sein müsste.
- Die „Abschluss-Durchmusterung“: Nachdem sie die Möglichkeiten auf eine handhabbare Größe zusammengedrückt hatten, nutzten sie Computer, um jeden einzelnen verbleibenden Kandidaten zu prüfen.

Das Ergebnis

Nach all der schweren Arbeit war die Schlussfolgerung eindeutig:

Für die klassische Folge ( $k=2$ ): Es gibt genau eine Lösung: $12 = 1 \parallel 2$ .
Für alle anderen Folgen ( $k \ge 3$ ): Es gibt null Lösungen. Man kann zwei Zahlen aus diesen Folgen nicht zusammenkleben, um eine Zahl aus derselben Folge zu erhalten.

In einfachen Metaphern

Stellen Sie sich die k-verallgemeinerten Pell-Zahlen als verschiedene Arten von Lego-Steinen vor.

Die klassischen ( $k=2$ ) Steine sind besonders. Man kann einen kleinen „1“-Stein und einen kleinen „2“-Stein zusammenstecken, um perfekt einen „12“-Stein zu bilden. Aber das ist das einzige Mal, dass dies funktioniert.
Die komplexen ( $k \ge 3$ ) Steine sind anders geformt. Die Autoren haben bewiesen, dass egal wie man versucht, zwei dieser Steine zusammenzustecken, sie niemals eine Form bilden werden, die einer anderen Form aus dem Set entspricht. Die Formen passen einfach nicht auf diese Weise zusammen.

Zusammenfassung: Die Arbeit beweist, dass das „Klebe“-Phänomen eine seltene Besonderheit ist, die nur einmal in der klassischen Version dieser Zahlen auftritt und in keiner der komplexeren Variationen vorkommt.

Technische Zusammenfassung: Über Konkatenationen von zwei k-generalisierten Pell-Zahlen

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht die diophantische Gleichung bezüglich der Konkatenation zweier Terme aus der Folge der k-generalisierten Pell-Zahlen, bezeichnet als $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$ . Die Folge ist definiert durch die lineare Rekursion $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ für $n \ge 2$ , mit den Anfangsbedingungen $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ und $P^{(k)}_1 = 1$ .

Die spezifische Problemstellung ist die Suche nach allen ganzzahligen Lösungen der Gleichung:
$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$
wobei $n > m$ , $p \ge 0$ , und $d$ die Anzahl der Dezimalstellen von $P^{(k)}_p$ darstellt (d. h. $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$ ). Diese Gleichung modelliert die Konkatenation der Dezimaldarstellungen von $P^{(k)}_m$ und $P^{(k)}_p$ zu $P^{(k)}_n$ .

Methodik
Die Autoren verwenden eine Kombination aus analytischer Zahlentheorie, diophantischer Approximation und computergestützter Verifizierung, um das Problem zu lösen. Die Methodik gliedert sich in mehrere distinkte Phasen:

Vorläufige Schranken und Eigenschaften:
Die Studie nutzt die Eigenschaften der dominanten Wurzel $\alpha$ des charakteristischen Polynoms $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$ . Es wird etabliert, dass $\alpha$ die einzige Wurzel außerhalb des Einheitskreises ist. Die Autoren verwenden Binet-Typ-Formeln und aus der Arbeit von Bravo et al. abgeleitete Schranken, um $P^{(k)}_n$ als $g_k(\alpha)\alpha^n$ zu approximieren, wobei $g_k(z)$ eine spezifische rationale Funktion ist.
Lineare Formen in Logarithmen ( Bakersche Methode):
Um obere Schranken für die Indizes $n, m, p$ zu etablieren, wendet die Arbeit Matveevs Theorem über lineare Formen in Logarithmen algebraischer Zahlen an. Durch Umformung der Konkatenationsgleichung leiten die Autoren Ungleichungen ab, die Terme der Form $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ und ähnliche Ausdrücke beinhalten. Matveevs Theorem liefert eine untere Schranke für diese nicht-verschwindenden linearen Formen, welche im Vergleich mit den aus der Approximation der Pell-Zahlen gewonnenen oberen Schranken eine polynomielle Schranke für $n$ in Abhängigkeit von $k$ liefert. Speziell wird für $k \ge 3$ gezeigt, dass $n < 4,6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$ .
Reduktionsverfahren:
Die über Matveevs Theorem erhaltenen initialen Schranken sind rechnerisch nicht handhabbar. Die Autoren reduzieren diese Schranken mittels:

Gebrochener Brüche: Anwendung der Baker-Davenport-Reduktionsmethode (speziell der Variante von Dujella und Pethő) und des Legendre-Kriteriums auf die linearen Formen involvierend $\log \alpha / \log 10$ und $\log 2 / \log 10$ .
LLL-Algorithmus: Nutzung des Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) Gitterbasisreduktionsalgorithmus, um lineare Formen mit mehreren Variablen und großen Koeffizienten sowie großen $k$ zu behandeln.

Fallunterscheidung und computergestützte Suche:
Der Beweis ist in zwei Hauptbereiche für $k$ unterteilt:

Kleines $k$ ( $2 \le k \le 500$ ): Die Reduktionsverfahren senken die Schranke für $n$ auf einen handhabbaren Bereich ( $n \le 170$ ). Eine direkte Computersuche wird anschließend über diese Bereiche durchgeführt, um nach Lösungen zu suchen.
Großes $k$ ( $k > 500$ ): Die Autoren nutzen die Cooper-Howard-Expansion für $P^{(k)}_n$ (gültig für $n < 2k/2$ ), um die Terme unter Verwendung von Potenzen von 2 zu approximieren. Dies ermöglicht eine separate Analyse der linearen Formen involvierend $\log 2$ und $\log 10$ . Durch iterative Anwendungen des LLL-Algorithmus und der Reduktion mittels gebrochener Brüche werden die Schranken für $k$ und $n$ sukzessive verschärft, bis ein Widerspruch für $k > 500$ erreicht wird.

Wesentliche Ergebnisse
Die Arbeit etabliert das folgende Theorem bezüglich der Lösungen der Konkatenationsgleichung:

Fall $k = 2$ : Die einzige Lösung ist $(n, m, p) = (4, 1, 2)$ . Dies entspricht den klassischen Pell-Zahlen, wobei $P_4 = 12$ die Konkatenation von $P_1 = 1$ und $P_2 = 2$ ist (d. h. $12 = 1 \parallel 2$ ).
Fall $k \ge 3$ : Es gibt keine Lösungen zur Gleichung.

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit trägt zum breiteren Feld der diophantischen Probleme bei, die Konkatenationen von Termen in linearen Rekursionsfolgen betreffen. Während frühere Arbeiten ähnliche Probleme für Fibonacci-Zahlen (Banks und Luca), Lucas-Zahlen (Erdővan) sowie $k$ -generalisierte Fibonacci/Lucas-Zahlen (Altassan und Alan; Tumwesigye et al.) behandelt haben, erweitert diese Arbeit die Analyse auf die $k$ -generalisierte Pell-Folge.

Die Autoren behaupten, die Lösungen für alle $k \ge 2$ vollständig bestimmt zu haben. Die Signifikanz liegt in der rigorosen Anwendung fortgeschrittener Methoden der transzendentalen Zahlentheorie (Matveevs Theorem) kombiniert mit computergestützten Reduktionstechniken (LLL und gebrochene Brüche), um eine spezifische diophantische Gleichung zu lösen, die für die Pell-Familie bisher ungelöst war. Das Ergebnis verdeutlicht eine Divergenz im Verhalten zwischen der klassischen Pell-Folge ( $k=2$ ) und ihren höherwertigen Generalisierungen ( $k \ge 3$ ), bei denen keine derartigen Konkatenationseigenschaften existieren.

Die große Frage: Der „Klebe“-Test

Die Untersuchung

Das Ergebnis

In einfachen Metaphern

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