On concatenations of two $k$-generalized Pell numbers

Resumen Técnico: Sobre las concatenaciones de dos números de Pell $k$-generalizados

Planteamiento del problema
Este artículo investiga la ecuación diofántica referente a la concatenación de dos términos de la secuencia de los números de Pell $k$-generalizados, denotada como $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$. La secuencia se define mediante la recurrencia lineal $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ para $n \ge 2$, con las condiciones iniciales $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ y $P^{(k)}_1 = 1$.

El problema específico consiste en hallar todas las soluciones enteras a la ecuación:
$$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$$
donde $n > m$, $p \ge 0$, y $d$ representa el número de dígitos decimales de $P^{(k)}_p$ (es decir, $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$). Esta ecuación modela la concatenación de las representaciones decimales de $P^{(k)}_m$ y $P^{(k)}_p$ para formar $P^{(k)}_n$.

Metodología
Los autores emplean una combinación de teoría analítica de números, aproximación diofántica y verificación computacional para resolver el problema. La metodología procede en varias etapas distintas:

1. Límites preliminares y propiedades:
   El estudio utiliza las propiedades de la raíz dominante $\alpha$ del polinomio característico $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$. Se establece que $\alpha$ es la única raíz fuera del círculo unitario. Los autores utilizan fórmulas de tipo Binet y límites derivados del trabajo de Bravo et al. para aproximar $P^{(k)}_n$ como $g_k(\alpha)\alpha^n$, donde $g_k(z)$ es una función racional específica.

2. Formas lineales en logaritmos (Método de Baker):
   Para establecer límites superiores en los índices $n, m, p$, el artículo aplica el teorema de Matveev sobre formas lineales en logaritmos de números algebraicos. Al reordenar la ecuación de concatenación, los autores derivan desigualdades que involucran términos de la forma $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ y expresiones similares. El teorema de Matveev proporciona un límite inferior para estas formas lineales no nulas, lo cual, al compararse con los límites superiores derivados de la aproximación de los números de Pell, produce un límite polinómico para $n$ en términos de $k$. Específicamente, para $k \ge 3$, se demuestra que $n < 4.6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$.

3. Procedimientos de reducción:
   Los límites iniciales obtenidos mediante el teorema de Matveev son computacionalmente intratables. Los autores reducen estos límites utilizando:

• Fracciones continuas: Aplicando el método de reducción de Baker-Davenport (específicamente la variante de Dujella y Pethő) y el criterio de Legendre a las formas lineales que involucran $\log \alpha / \log 10$ y $\log 2 / \log 10$.
• Algoritmo LLL: Utilizando el algoritmo de reducción de base de red de Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) para manejar formas lineales con múltiples variables y coeficientes grandes, particularmente para el caso de $k$ grande.

4. Análisis de casos y búsqueda computacional:
   La demostración se divide en dos rangos principales para $k$:

• $k$ pequeño ($2 \le k \le 500$): Los procedimientos de reducción reducen el límite de $n$ a un rango manejable ($n \le 170$). Se realiza entonces una búsqueda computacional directa sobre estos rangos para verificar soluciones.
• $k$ grande ($k > 500$): Los autores utilizan la expansión de Cooper-Howard para $P^{(k)}_n$ (válida para $n < 2k/2$) para aproximar los términos utilizando potencias de 2. Esto permite un análisis separado de las formas lineales que involucran $\log 2$ y $\log 10$. A través de aplicaciones iterativas del algoritmo LLL y reducciones de fracciones continuas, los límites sobre $k$ y $n$ se estrechan progresivamente hasta alcanzar una contradicción para $k > 500$.

Resultados clave
El artículo establece el siguiente teorema respecto a las soluciones de la ecuación de concatenación:

• Caso $k = 2$: La única solución es $(n, m, p) = (4, 1, 2)$. Esto corresponde a los números de Pell clásicos donde $P_4 = 12$, que es la concatenación de $P_1 = 1$ y $P_2 = 2$ (es decir, $12 = 1 \parallel 2$).
• Caso $k \ge 3$: No existen soluciones a la ecuación.

Significado y pretensiones
El artículo contribuye al campo más amplio de los problemas diofánticos que involucran concatenaciones de términos en secuencias de recurrencia lineal. Mientras que trabajos previos han abordado problemas similares para los números de Fibonacci (Banks y Luca), Lucas (Erdővan), y números de Fibonacci/Lucas $k$-generalizados (Altassan y Alan; Tumwesigye et al.), este trabajo extiende el análisis a la secuencia de Pell $k$-generalizada.

Los autores afirman haber determinado completamente las soluciones para todo $k \ge 2$. La significancia radica en la aplicación rigurosa de herramientas avanzadas de la teoría trascendente de números (el teorema de Matveev) combinada con técnicas de reducción computacional (LLL y fracciones continuas) para resolver una ecuación diofántica específica que no había sido resuelta previamente para la familia de Pell. El resultado resalta una divergencia en el comportamiento entre la secuencia de Pell clásica ($k=2$) y sus generalizaciones de orden superior ($k \ge 3$), donde no existen tales propiedades de concatenación.