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On concatenations of two $k$ -generalized Pell numbers

本文证明了两个 $k$ -广义佩尔数（ $k$ -generalized Pell numbers）的拼接仅在 $k=2$ 且这两个数为 1 和 2 的特定情况下等于第三个此类数，而对于 $k \ge 3$ 则不存在解。

原作者： Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

发布于 2026-06-16

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原作者： Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你拥有一台特殊的机器，它能生成一个数字序列，就像一个遵循严格规则的数字计数器。在这篇论文中，作者们正在研究一种特定类型的数字生成器，称为 k-广义佩尔数（k-generalized Pell numbers）。

可以将这些数字看作是这个家族中的一系列序列。这个家族中最著名的成员是“经典”佩尔序列（即 $k=2$ 的情况），它的增长规则是：当前的数等于前一个数加上前一个数的两倍。但这个家族还有许多其他版本（例如 $k=3, 4, 5$ 等），每个版本由于增长规则略有不同，其增长速度也各不相同。

核心问题：“粘合”测试

作者们想要解决一个谜题：你能否从这个序列中取出两个数字，将它们“粘合”在一起，从而构成第三个属于该序列的数字？

用数学术语来说，“粘合”意味着拼接（concatenation）。如果你有数字 1 和数字 2，粘合它们就得到了 12。如果你有数字 5 和数字 5，你就得到了 55。

我们要测试的方程如下所示：
$\text{数字}_A = \text{数字}_B \text{ 粘合 } \text{数字}_C$

例如，如果你取经典序列中的第 4 个数（即 12），你能否找到该序列中的另外两个数，通过将它们粘合在一起来组成 12？

可以！第 1 个数是 1，第 2 个数是 2。把它们粘起来：1 和 2 变成了 12。
所以， $12 = 1 \parallel 2$ 是一个解。

研究过程

作者们花费了整篇论文的时间，试图找出对于每一个序列版本（每一个 $k$ 值），这个“粘合”谜题的所有可能解。

他们是如何拆解这项工作的：

1. “小数字”检查 ( $k=2$ )
首先，他们观察了经典序列（ $k=2$ ）。他们发现，这种“粘合”技巧仅在上述例子中奏效：12 是由 1 和 2 组成的。在该经典序列中，没有其他数字可以通过粘合两个其他数字来形成。

2. “大数字”检查 ( $k \ge 3$ )
接下来，他们研究了更复杂的序列版本（即 $k$ 为 3 或更高的情况）。这些序列增长得更快，行为也更加不同。

假设： 他们怀疑对于这些复杂的序列，这种“粘合”技巧永远不会奏效。
证明： 他们使用了一套强大的数学工具箱，其中包括：
- “水晶球数学”（比内公式/Binet Formulas）： 这些公式可以精确预测序列中的某个数字，而无需一个一个地数出来。
- “大到无法计数”的问题： 他们证明了，如果存在解，那么这些数字将会是天文数字——巨大到足以打破这些序列自身的增长规律。
- “数学挤压”（归约/Reduction）： 由于他们无法检查每一个巨大的数字，他们使用了高级技术（如 LLL 算法和连分数）来将可能的答案“挤压”下来。他们证明了，即使存在解，这些解也必须小于某个特定的极限。
- “最终清扫”： 一旦他们将可能性挤压到可以处理的范围，他们就使用计算机检查了每一个剩余的候选对象。

研究结果

经过所有的繁重工作后，结论是明确的：

对于经典序列 ( $k=2$ )： 仅存在一个解： $12 = 1 \parallel 2$ 。
对于所有其他序列 ( $k \ge 3$ )： 存在零个解。你无法通过将两个来自同一序列的数字粘合在一起，来得到该序列中的另一个数字。

简单的比喻

把 k-广义佩尔数想象成不同类型的乐高积木。

经典型 ( $k=2$ ) 积木很特殊。你可以把一个小“1”积木和一个小“2”积木卡在一起，完美地组成一个“12”积木。但这是仅有的一次成功。
复杂型 ( $k \ge 3$ ) 积木的形状不同。作者证明了，无论你如何尝试将两个积木拼在一起，它们永远无法拼凑出与集合中另一个积木相匹配的形状。它们的形状无法以这种方式契合。

总结： 论文证明了这种“粘合”现象是一个罕见的特例，它只在经典版本的数字中出现过一次，并且在任何更复杂的变体中都不会发生。

技术摘要：关于两个 $k$ -广义佩尔数（ $k$ -generalized Pell numbers）的串联问题

问题陈述
本文研究了关于 $k$ -广义佩尔数序列（记作 $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$ ）中两个项的串联（concatenation）的丢番图方程。该序列由线性递推关系 $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ 定义，其中 $n \ge 2$ ，初始条件为 $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ 且 $P^{(k)}_1 = 1$ 。

具体而言，本研究旨在寻找以下方程的所有整数解：
$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$
其中 $n > m$ ， $p \ge 0$ ，且 $d$ 代表 $P^{(k)}_p$ 的十进制位数（即 $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$ ）。该方程模拟了将 $P^{(k)}_m$ 和 $P^{(k)}_p$ 的十进制表示进行串联以形成 $P^{(k)}_n$ 的过程。

方法论
作者结合了解析数论、丢番图逼近以及计算验证的方法来解决该问题。其研究方法分为以下几个不同的阶段：

初步界限与性质：
研究利用了特征多项式 $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$ 的主根 $\alpha$ 的性质。已确定 $\alpha$ 是单位圆外唯一的根。作者使用 Binet 型公式以及基于 Bravo 等人工作的界限，将 $P^{(k)}_n$ 近似为 $g_k(\alpha)\alpha^n$ ，其中 $g_k(z)$ 是一个特定的有理函数。
线性形式中的对数（Baker 方法）：
为了建立指数 $n, m, p$ 的上界，论文应用了 Matveev 关于代数数对数线性形式的定理。通过对串联方程进行变形，作者导出了涉及形式为 $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ 及类似表达式的不等式。Matveev 定理为这些非零线性形式提供了下界，通过将其与由佩尔数近似得到的上界进行比较，得到了 $n$ 关于 $k$ 的多项式级界限。具体而言，对于 $k \ge 3$ ，证明了 $n < 4.6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$ 。
归约程序：
通过 Matveev 定理获得的初始界限在计算上是难以处理的。作者使用以下方法降低了这些界限：
- 连分数： 将 Baker-Davenport 归约法（特别是 Dujella 和 Pethő 的变体）以及 Legendre 判据应用于涉及 $\log \alpha / \log 10$ 和 $\log 2 / \log 10$ 的线性形式。
- LLL 算法： 利用 Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) 格基规约算法来处理具有多个变量和大系数的线性形式，特别是针对大 $k$ 的情况。
分类讨论与计算搜索：
证明过程分为 $k$ 的两个主要范围：
- 小 $k$ 范围 ( $2 \le k \le 500$ )： 归约程序将 $n$ 的界限降低到了可控范围（ $n \le 170$ ）。随后在这些范围内进行直接计算机搜索以检查是否存在解。
- 大 $k$ 范围 ( $k > 500$ )： 作者利用 Cooper-Howard 展开式来近似 $P^{(k)}_n$ （该展开式在 $n < 2k/2$ 时有效），从而利用 2 的幂次来近似各项。这使得可以对涉及 $\log 2$ 和 $\log 10$ 的线性形式进行单独分析。通过迭代应用 LLL 算法和连分数归约，作者逐步收紧了 $k$ 和 $n$ 的界限，直到在 $k > 500$ 时得出矛盾。

主要结果
论文针对串联方程确立了以下定理：

当 $k = 2$ 时： 唯一的解是 $(n, m, p) = (4, 1, 2)$ 。这对应于经典的佩尔数，其中 $P_4 = 12$ ，它是 $P_1 = 1$ 与 $P_2 = 2$ 的串联（即 $12 = 1 \parallel 2$ ）。
当 $k \ge 3$ 时： 该方程不存在解。

意义与主张
本文对涉及线性递推序列项串联的更广泛的丢番图问题做出了贡献。虽然之前的研究已经探讨了斐波那契数（Banks 和 Luca）、卢卡斯数（Erdővan）以及 $k$ -广义斐波那契/卢卡斯数（Altassan 和 Alan；Tumwesigye 等）中的类似问题，但本研究将分析扩展到了 $k$ -广义佩尔序列。

作者声称已完全确定了所有 $k \ge 2$ 时的解。其意义在于严谨地应用了高级超越数论工具（Matveev 定理）结合计算归约技术（LLL 和连分数），解决了佩尔家族中此前未被解决的特定丢番图方程。该结果突显了经典佩尔序列（ $k=2$ ）与其高阶广义化序列（ $k \ge 3$ ）之间行为的差异，即在高阶情况下不存在此类串联性质。

核心问题：“粘合”测试

研究过程

研究结果

简单的比喻

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