On concatenations of two $k$-generalized Pell numbers

Technische Samenvatting: Over de Concatenatie van Twee k-gegeneraliseerde Pell-getallen

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de Diophantische vergelijking met betrekking tot de concatenatie (het achter elkaar plaatsen) van twee termen uit de reeks van $k$-gegeneraliseerde Pell-getallen, aangeduid als $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$. De reeks wordt gedefinieerd door de lineaire recursie $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ voor $n \ge 2$, met de beginvoorwaarden $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ en $P^{(k)}_1 = 1$.

De specifieke probleemstelling is het vinden van alle gehele oplossingen voor de vergelijking:
$$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$$
waarbij $n > m$, $p \ge 0$, en $d$ het aantal decimalen van $P^{(k)}_p$ vertegenwoordigt (dat wil zeggen, $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$). Deze vergelijking modelleert de concatenatie van de decimale representaties van $P^{(k)}_m$ en $P^{(k)}_p$ om $P^{(k)}_n$ te vormen.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van analytische getaltheorie, Diophantische benadering en computationele verificatie om het probleem op te lossen. De methodologie verloopt in verschillende afzonderlijke fasen:

1. Voorlopige Grenzen en Eigenschappen:
   De studie maakt gebruik van de eigenschappen van de dominante wortel $\alpha$ van het karakteristieke polynoom $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$. Er wordt vastgesteld dat $\alpha$ de unieke wortel is buiten de eenheidscirkel. De auteurs gebruiken Binet-achtige formules en grenzen afgeleid van het werk van Bravo et al. om $P^{(k)}_n$ te benaderen als $g_k(\alpha)\alpha^n$, waarbij $g_k(z)$ een specifieke rationale functie is.

2. Lineaire Vormen van Logaritmen (Baker-methode):
   Om bovengrenzen te stellen voor de indices $n, m, p$, past het artikel Matveevs stelling toe op lineaire vormen van logaritmen van algebraïsche getallen. Door de concatenatievergelijking te herschikken, leiden de auteurs ongelijkheden af die betrokken zijn bij termen van de vorm $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ en soortgelijke uitdrukkingen. Matveevs stelling levert een ondergrens voor deze niet-nul lineaire vormen, die, wanneer vergeleken met de bovengrenzen afgeleid van de benadering van de Pell-getallen, een polynomiale grens voor $n$ in termen van $k$ oplevert. Specifiek wordt voor $k \ge 3$ aangetoond dat $n < 4.6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$.

3. Reductieprocedures:
   De initiële grenzen verkregen via Matveevs stelling zijn computationeel onhandelbaar. De auteurs reduceren deze grenzen met behulp van:

   • Continued Fractions (Breukenreeksen): Het toepassen van de Baker-Davenport reductiemethode (specifiek de variant door Dujella en Pethő) en Legendre's criterium op de lineaire vormen die betrokken zijn bij $\log \alpha / \log 10$ en $\log 2 / \log 10$.
   • LLL-algoritme: Het gebruik van het Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) roosterbasis-reductiealgoritme om lineaire vormen met meerdere variabelen en grote coëfficiënten te behandelen, met name voor het geval van grote $k$.

4. Gevalsanalyse en Computationele Zoektocht:
   Het bewijs is verdeeld in twee hoofdgebieden voor $k$:

   • Kleine $k$ ($2 \le k \le 500$): De reductieprocedures verlagen de grens voor $n$ naar een beheersbaar bereik ($n \le 170$). Een directe computerzoektocht wordt vervolgens uitgevoerd over deze bereiken om te controleren op oplossingen.
   • Grote $k$ ($k > 500$): De auteurs gebruiken de Cooper-Howard expansie voor $P^{(k)}_n$ (geldig voor $n < 2k/2$) om de termen te benaderen met de machten van 2. Dit maakt een aparte analyse mogelijk van de lineaire vormen die betrokken zijn bij $\log 2$ en $\log 10$. Door iteratieve toepassingen van het LLL-algoritme en breukenreeks-reducties, worden de grenzen op $k$ en $n$ progressief aangescherpt totdat er een contradictie wordt bereikt voor $k > 500$.

Belangrijkste Resultaten
Het artikel stelt het volgende theorema vast met betrekking tot de oplossingen van de concatenatievergelijking:

• Geval $k = 2$: De enige oplossing is $(n, m, p) = (4, 1, 2)$. Dit komt overeen met de klassieke Pell-getallen waarbij $P_4 = 12$, wat de concatenatie is van $P_1 = 1$ en $P_2 = 2$ (d.w.z. $12 = 1 \parallel 2$).
• Geval $k \ge 3$: Er zijn geen oplossingen voor de vergelijking.

Betekenis en Claims
Het artikel draagt bij aan het bredere veld van Diophantische problemen met betrekking tot de concatenatie van termen in lineaire recursieseries. Hoewel eerdere werken vergelijkbare problemen hebben behandeld voor Fibonacci-getallen (Banks en Luca), Lucas-getallen (Erdővan) en $k$-gegeneraliseerde Fibonacci/Lucas-getallen (Altassan en Alan; Tumwesigye et al.), breidt dit werk de analyse uit naar de $k$-gegeneraliseerde Pell-reeks.

De auteurs beweren de oplossingen voor alle $k \ge 2$ volledig te hebben bepaald. De betekenis ligt in de rigoureuze toepassing van geavanceerde transcendente getaltheoretische instrumenten (Matveevs stelling) gecombineerd met computationele reductietechnieken (LLL en breukenreeksen) om een specifieke Diophantische vergelijking op te lossen die voorheen niet was opgelost voor de Pell-familie. Het resultaat benadrukt een divergentie in gedrag tussen de klassieke Pell-reeks ($k=2$) en de hogere-orde generalisaties ($k \ge 3$), waar dergelijke concatenatie-eigenschappen niet voorkomen.