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On concatenations of two $k$ -generalized Pell numbers

Este artigo prova que a concatenação de dois números de Pell $k$ -generalizados é igual a um terceiro número tal apenas no caso específico onde $k=2$ e os números são 1 e 2, enquanto não existem soluções para $k \ge 3$ .

Autores originais: Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

Publicado 2026-06-16

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CC BY 4.0

Autores originais: Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você tem uma máquina especial que gera uma sequência de números, como um contador digital que segue um conjunto de regras muito rigorosas. Neste artigo, os autores estão investigando um tipo específico de gerador de números chamado números de Pell k-generalizados.

Pense nestes números como uma família de sequências. O membro mais famoso desta família é a sequência Pell "clássica" (onde $k=2$ ), que cresce somando o número anterior a duas vezes o número anterior a este. Mas esta família possui muitas outras versões (onde $k=3, 4, 5$ , etc.), cada uma com regras ligeiramente diferentes sobre o quão rápido elas crescem.

A Grande Pergunta: O Teste da "Cola"

Os autores queriam resolver um enigma: Você consegue pegar dois números desta sequência e "colá-los" para formar um terceiro número da mesma sequência?

Em termos matemáticos, "colar" significa concatenação. Se você tem o número 1 e o número 2, colá-los resulta em 12. Se você tem 5 e 5, você obtém 55.

A equação que eles estão testando é esta:
$\text{Número}_A = \text{Número}_B \text{ colado ao } \text{Número}_C$

Por exemplo, se você pegar o 4º número da sequência clássica (que é 12), você consegue encontrar dois outros números na mesma sequência que, quando colados, formam o 12?

Sim! O 1º número é 1, e o 2º número é 2. Cole-os: 1 e 2 tornam-se 12.
Portanto, $12 = 1 \parallel 2$ é uma solução.

A Investigação

Os autores dedicaram o artigo tentando encontrar todas as soluções possíveis para este enigma da "cola" para cada versão da sequência (cada valor de $k$ ).

Aqui está como eles dividiram o trabalho:

1. A Verificação dos "Números Pequenos" ( $k=2$ )
Primeiro, eles olharam para a sequência clássica ( $k=2$ ). Eles descobriram que a única vez que este truque da "cola" funciona é no exemplo mencionado acima: 12 é feito de 1 e 2. Nenhum outro número nesta sequência clássica pode ser formado colando dois outros números.

2. A Verificação dos "Números Grandes" ( $k \ge 3$ )
Em seguida, eles olharam para as versões mais complexas da sequência (onde $k$ é 3 ou superior). Estas sequências crescem muito mais rápido e se comportam de maneira diferente.

A Hipótese: Eles suspeitavam que, para estas sequências complexas, o truque da "cola" nunca funciona.
A Prova: Eles utilizaram um conjunto de ferramentas matemáticas poderosas envolvendo:
- Matemática da Bola de Cristal (Fórmulas de Binet): Fórmulas que preveem exatamente qual será um número na sequência sem precisar contar um por um.
- O Problema do "Grande Demais para Contar": Eles provaram que, se uma solução existisse, os números teriam que ser astronomicamente enormes — tão grandes que quebrariam as leis de crescimento destas sequências.
- O "Aperto Matemático" (Redução): Como não podiam verificar cada um desses números gigantescos, eles usaram técnicas avançadas (como o algoritmo LLL e frações contínuas) para "espremer" as respostas possíveis. Eles mostraram que, mesmo que uma solução existisse, ela teria que ser menor do que um certo limite.
- A Varredura Final: Uma vez que espremeram as possibilidades para um tamanho gerenciável, eles usaram computadores para verificar cada um dos candidatos restantes.

O Resultado

Após todo o trabalho pesado, a conclusão foi definitiva:

Para a sequência clássica ( $k=2$ ): Existe exatamente uma solução: $12 = 1 \parallel 2$ .
Para todas as outras sequências ( $k \ge 3$ ): Existem zero soluções. Você não consegue colar dois números destas sequências para obter outro número da mesma sequência.

Em Metáforas Simples

Imagine os números de Pell k-generalizados como diferentes tipos de peças de LEGO.

As peças Clássicas ( $k=2$ ) são especiais. Você pode encaixar uma peça pequena "1" e uma peça pequena "2" para formar perfeitamente uma peça "12". Mas esta é a única vez que isso funciona.
As peças Complexas ( $k \ge 3$ ) têm formatos diferentes. Os autores provaram que, não importa como você tente encaixar duas dessas peças, elas nunca formarão um formato que corresponda a outra peça do conjunto. Os formatos simplesmente não se encaixam dessa maneira.

Resumo: O artigo prova que o fenômeno da "colagem" é uma peculiaridade rara que só acontece uma vez na versão clássica destes números e nunca acontece em nenhuma das suas variações mais complexas.

Resumo Técnico: Sobre Concatenações de Dois Números de Pell $k$ -generalizados

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a equação diofantina referente à concatenação de dois termos da sequência de números de Pell $k$ -generalizados, denotada por $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$ . A sequência é definida pela recorrência linear $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ para $n \ge 2$ , com condições iniciais $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ e $P^{(k)}_1 = 1$ .

O problema específico é encontrar todas as soluções inteiras para a equação:
$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$
onde $n > m$ , $p \ge 0$ , e $d$ representa o número de dígitos decimais de $P^{(k)}_p$ (ou seja, $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$ ). Esta equação modela a concatenação das representações decimais de $P^{(k)}_m$ e $P^{(k)}_p$ para formar $P^{(k)}_n$ .

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de teoria analítica dos números, aproximação diofantina e verificação computacional para resolver o problema. A metodologia procede em várias etapas distintas:

Limites Preliminares e Propriedades:
O estudo utiliza as propriedades da raiz dominante $\alpha$ do polinômio característico $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$ . Estabelece-se que $\alpha$ é a única raiz fora do círculo unitário. Os autores utilizam fórmulas do tipo Binet e limites derivados do trabalho de Bravo et al. para aproximar $P^{(k)}_n$ como $g_k(\alpha)\alpha^n$ , onde $g_k(z)$ é uma função racional específica.
Formas Lineares em Logaritmos (Método de Baker):
Para estabelecer limites superiores para os índices $n, m, p$ , o artigo aplica o teorema de Matveev sobre formas lineares em logaritmos de números algébricos. Ao rearranjar a equação de concatenação, os autores derivam desigualdades envolvendo termos da forma $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ e expressões semelhantes. O teorema de Matveev fornece um limite inferior para essas formas lineares não nulas, que, quando comparado com os limites superiores derivados da aproximação dos números de Pell, resulta em um limite polinomial para $n$ em termos de $k$ . Especificamente, para $k \ge 3$ , mostra-se que $n < 4,6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$ .
Procedimentos de Redução:
Os limites iniciais obtidos via teorema de Matveev são computacionalmente intratáveis. Os autores reduzem esses limites usando:

Frações Contínuas: Aplicando o método de redução de Baker-Davenport (especificamente a variante de Dujella e Pethő) e o critério de Legendre às formas lineares envolvendo $\log \alpha / \log 10$ e $\log 2 / \log 10$ .
Algoritmo LLL: Utilizando o algoritmo de redução de base de rede Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) para lidar com formas lineares com múltiplas variáveis e coeficientes grandes, particularmente para o caso de $k$ grande.

Análise de Casos e Busca Computacional:
A prova é dividida em duas faixas principais para $k$ :

Pequeno $k$ ( $2 \le k \le 500$ ): Os procedimentos de redução reduzem o limite para $n$ a um intervalo gerenciável ( $n \le 170$ ). Uma busca computacional direta é então realizada sobre esses intervalos para verificar a existência de soluções.
Grande $k$ ( $k > 500$ ): Os autores utilizam a expansão de Cooper-Howard para $P^{(k)}_n$ (válida para $n < 2k/2$ ) para aproximar os termos usando potências de 2. Isso permite uma análise separada das formas lineares envolvendo $\log 2$ e $\log 10$ . Através de aplicações iterativas do algoritmo LLL e reduções por frações contínuas, os limites sobre $k$ e $n$ são progressivamente apertados até que uma contradição seja alcançada para $k > 500$ .

Resultados Principais
O artigo estabelece o seguinte teorema em relação às soluções da equação de concatenação:

Caso $k = 2$ : A única solução é $(n, m, p) = (4, 1, 2)$ . Isso corresponde aos números de Pell clássicos onde $P_4 = 12$ , que é a concatenação de $P_1 = 1$ e $P_2 = 2$ (ou seja, $12 = 1 \parallel 2$ ).
Caso $k \ge 3$ : Não existem soluções para a equação.

Significado e Alegações
O artigo contribui para o campo mais amplo de problemas diofantinos envolvendo concatenações de termos em sequências de recorrência linear. Embora trabalhos anteriores tenham abordado problemas semelhantes para números de Fibonacci (Banks e Luca), números de Lucas (Erdővan) e números de Fibonacci/Lucas $k$ -generalizados (Altassan e Alan; Tumwesigye et al.), este trabalho estende a análise para a sequência de Pell $k$ -generalizada.

Os autores alegam ter determinado completamente as soluções para todo $k \ge 2$ . O significado reside na aplicação rigorosa de ferramentas avançadas de teoria transcedental dos números (teorema de Matveev) combinadas com técnicas de redução computacional (LLL e frações contínuas) para resolver uma equação diofantina específica que não havia sido resolvida anteriormente para a família de Pell. O resultado destaca uma divergência no comportamento entre a sequência de Pell clássica ( $k=2$ ) e suas generalizações de ordem superior ( $k \ge 3$ ), onde tais propriedades de concatenação não existem.

A Grande Pergunta: O Teste da "Cola"

A Investigação

O Resultado

Em Metáforas Simples

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