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On concatenations of two $k$ -generalized Pell numbers

Cet article prouve que la concaténation de deux nombres de Pell $k$ -généralisés est égale à un troisième nombre de ce type uniquement dans le cas spécifique où $k=2$ et les nombres sont 1 et 2, tandis qu'aucune solution n'existe pour $k \ge 3$ .

Auteurs originaux : Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

Publié 2026-06-16

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Cherif B. Deme, Kancou D. Fall, Khady Faye, Bernadette Faye

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous possédez une machine spéciale qui génère une séquence de nombres, comme un compteur numérique qui suit un ensemble de règles très strictes. Dans cet article, les auteurs étudient un type spécifique de générateur de nombres appelé nombres de Pell k-généralisés.

Considérez ces nombres comme une famille de séquences. Le membre le plus célèbre de cette famille est la séquence de Pell « classique » (où $k=2$ ), qui croît en ajoutant le nombre précédent à deux fois celui qui le précède. Mais cette famille possède de nombreuses autres versions (où $k=3, 4, 5$ , etc.), chacune ayant des règles légèrement différentes sur la vitesse de sa croissance.

La grande question : Le test du « collage »

Les auteurs voulaient résoudre un puzzle : Pouvez-vous prendre deux nombres de cette séquence et les « coller » ensemble pour former un troisième nombre de la même séquence ?

En termes mathématiques, « coller » signifie la concaténation. Si vous avez le nombre 1 et le nombre 2, coller les deux donne 12. Si vous avez 5 et 5, vous obtenez 55.

L'équation qu'ils testent ressemble à ceci :
$\text{Nombre}_A = \text{Nombre}_B \text{ collé à } \text{Nombre}_C$

Par exemple, si vous prenez le 4ème nombre de la séquence classique (qui est 12), pouvez-vous trouver deux autres nombres dans cette même séquence qui, lorsqu'ils sont collés ensemble, forment 12 ?

Oui ! Le 1er nombre est 1, et le 2ème est 2. Collez-les : 1 et 2 deviennent 12.
Ainsi, $12 = 1 \parallel 2$ est une solution.

L'investigation

Les auteurs ont passé l'article à essayer de trouver toutes les solutions possibles à ce puzzle de « collage » pour chaque version de la séquence (chaque valeur de $k$ ).

Voici comment ils ont décomposé le travail :

1. La vérification des « petits nombres » ( $k=2$ )
Ils ont d'abord examiné la séquence classique ( $k=2$ ). Ils ont découvert que le seul moment où ce tour de magie du « collage » fonctionne est l'exemple mentionné ci-dessus : 12 est formé de 1 et 2. Aucun autre nombre de cette séquence classique ne peut être formé en collant deux autres nombres ensemble.

2. La vérification des « grands nombres » ( $k \ge 3$ )
Ensuite, ils ont examiné les versions plus complexes de la séquence (où $k$ est égal ou supérieur à 3). Ces séquences croissent beaucoup plus vite et se comportent différemment.

L'hypothèse : Ils soupçonnaient que pour ces séquences complexes, le tour de magie du « collage » ne fonctionne jamais.
La preuve : Ils ont utilisé une boîte à outils mathématique puissante comprenant :
- La mathématique de la boule de cristal (Formules de Binet) : Des formules qui prédisent exactement quel sera un nombre de la séquence sans avoir à compter un par un.
- Le problème du « trop grand pour être compté » : Ils ont prouvé que si une solution existait, les nombres devraient être astronomiquement gigantesques — si énormes qu'ils briseraient les lois de la croissance de ces séquences.
- Le « resserrement mathématique » (Réduction) : Comme ils ne pouvaient pas vérifier chaque énorme nombre individuellement, ils ont utilisé des techniques avancées (comme l'algorithme LLL et les fractions continues) pour « resserrer » les réponses possibles. Ils ont montré que même si une solution existait, elle devrait être plus petite qu'une certaine limite.
- Le balayage final : Une fois les possibilités resserrées à une taille gérable, ils ont utilisé des ordinateurs pour vérifier chaque candidat restant.

Le résultat

Après tout ce travail de force, la conclusion est définitive :

Pour la séquence classique ( $k=2$ ) : Il existe exactement une solution : $12 = 1 \parallel 2$ .
Pour toutes les autres séquences ( $k \ge 3$ ) : Il y a zéro solution. Vous ne pouvez pas coller deux nombres de ces séquences ensemble pour obtenir un autre nombre de la même séquence.

En métaphores simples

Imaginez les nombres de Pell k-généralisés comme différents types de briques LEGO.

Les briques Classiques ( $k=2$ ) sont spéciales. Vous pouvez emboîter une petite brique « 1 » et une petite brique « 2 » pour former parfaitement une brique « 12 ». Mais c'est la seule fois que cela fonctionne.
Les briques Complexes ( $k \ge 3$ ) ont des formes différentes. Les auteurs ont prouvé que peu importe la façon dont vous essayez d'emboîter deux de ces briques, elles ne formeront jamais une forme qui correspond à une autre brique de l'ensemble. Les formes ne s'ajustent tout simplement pas de cette manière.

Résumé : L'article prouve que le phénomène de « collage » est une curiosité rare qui ne se produit qu'une seule fois dans la version classique de ces nombres et qui n'arrive jamais dans aucune de leurs variations plus complexes.

Résumé Technique : Sur les concaténations de deux nombres de Pell $k$ -généralisés

Énoncé du Problème
Cet article étudie l'équation diophantienne concernant la concaténation de deux termes de la suite des nombres de Pell $k$ -généralisés, notée $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$ . La suite est définie par la récurrence linéaire $P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$ pour $n \ge 2$ , avec les conditions initiales $P^{(k)}_{-(k-2)} = \dots = P^{(k)}_0 = 0$ et $P^{(k)}_1 = 1$ .

Le problème spécifique consiste à trouver toutes les solutions entières de l'équation :
$P^{(k)}_n = P^{(k)}_m \cdot 10^d + P^{(k)}_p$
où $n > m$ , $p \ge 0$ , et $d$ représente le nombre de chiffres décimaux de $P^{(k)}_p$ (c'est-à-dire $d = \lfloor \log_{10} P^{(k)}_p \rfloor + 1$ ). Cette équation modélise la concaténation des représentations décimales de $P^{(k)}_m$ et $P^{(k)}_p$ pour former $P^{(k)}_n$ .

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de théorie analytique des nombres, d'approximation diophantienne et de vérification computationnelle pour résoudre le problème. La méthodologie se déroule en plusieurs étapes distinctes :

Bornes Préliminaires et Propriétés :
L'étude utilise les propriétés de la racine dominante $\alpha$ du polynôme caractéristique $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$ . Il est établi que $\alpha$ est l'unique racine à l'extérieur du cercle unité. Les auteurs utilisent des formules de type Binet et des bornes dérivées des travaux de Bravo et al. pour approximer $P^{(k)}_n$ par $g_k(\alpha)\alpha^n$ , où $g_k(z)$ est une fonction rationnelle spécifique.
Formes Linéaires de Logarithmes (Méthode de Baker) :
Pour établir des bornes supérieures sur les indices $n, m, p$ , l'article applique le théorème de Matveev sur les formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques. En réorganisant l'équation de concaténation, les auteurs dérivent des inégalités impliquant des termes de la forme $|d \log 10 - (n-m) \log \alpha|$ et des expressions similaires. Le théorème de Matveev fournit une borne inférieure pour ces formes linéaires non nulles, ce qui, comparé aux bornes supérieures dérivées de l'approximation des nombres de Pell, produit une borne polynomiale pour $n$ en fonction de $k$ . Plus précisément, pour $k \ge 3$ , il est démontré que $n < 4,6 \times 10^{23} k^7 (\log k)^4$ .
Procédures de Réduction :
Les bornes initiales obtenues via le théorème de Matveev sont computationnellement intraitables. Les auteurs réduisent ces bornes en utilisant :

Fractions Continues : Application de la méthode de réduction de Baker-Davenport (spécifiquement la variante de Dujella et Pethő) et du critère de Legendre aux formes linéaires impliquant $\log \alpha / \log 10$ et $\log 2 / \log 10$ .
Algorithme LLL : Utilisation de l'algorithme de réduction de base de réseaux LLL (Lenstra-Lenstra-Lovász) pour traiter les formes linéaires avec plusieurs variables et de grands coefficients, particulièrement pour les grands $k$ .

Analyse de Cas et Recherche Computationnelle :
La preuve est divisée en deux plages principales pour $k$ :

Petit $k$ ( $2 \le k \le 500$ ) : Les procédures de réduction abaissent la borne de $n$ à un intervalle gérable ( $n \le 170$ ). Une recherche informatique directe est ensuite effectuée sur ces intervalles pour vérifier l'existence de solutions.
Grand $k$ ( $k > 500$ ) : Les auteurs utilisent l'expansion de Cooper-Howard pour $P^{(k)}_n$ (valable pour $n < 2k/2$ ) afin d'approximer les termes par des puissances de 2. Cela permet une analyse séparée des formes linéaires impliquant $\log 2$ et $\log 10$ . Par des applications itératives de l'algorithme LLL et des réductions par fractions continues, les bornes sur $k$ et $n$ sont progressivement resserrées jusqu'à atteindre une contradiction pour $k > 500$ .

Résultats Clés
L'article établit le théorème suivant concernant les solutions de l'équation de concaténation :

Cas $k = 2$ : La seule solution est $(n, m, p) = (4, 1, 2)$ . Cela correspond aux nombres de Pell classiques où $P_4 = 12$ , qui est la concaténation de $P_1 = 1$ et $P_2 = 2$ (soit $12 = 1 \parallel 2$ ).
Cas $k \ge 3$ : Il n'existe aucune solution à l'équation.

Signification et Revendications
L'article contribue au domaine plus large des problèmes diophantiens impliquant les concaténations de termes de suites de récurrence linéaire. Alors que des travaux antérieurs ont traité des problèmes similaires pour les nombres de Fibonacci (Banks et Luca), les nombres de Lucas (Erdővan), et les nombres de Fibonacci/Lucas $k$ -généralisés (Altassan et Alan ; Tumwesigye et al.), ce travail étend l'analyse à la séquence de Pell $k$ -généralisée.

Les auteurs affirment avoir déterminé complètement les solutions pour tout $k \ge 2$ . La signification réside dans l'application rigoureuse d'outils avancés de la théorie transcendantale des nombres (théorème de Matveev) combinés à des techniques de réduction computationnelle (LLL et fractions continues) pour résoudre une équation diophantienne spécifique qui n'avait pas été résolue pour la famille de Pell. Le résultat souligne une divergence de comportement entre la séquence de Pell classique ( $k=2$ ) et ses généralisations d'ordre supérieur ( $k \ge 3$ ), où de telles propriétés de concaténation n'existent pas.

La grande question : Le test du « collage »

L'investigation

Le résultat

En métaphores simples

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