Multiple positive solutions to a perturbed Gelfand problem involving mixed local-nonlocal operators and singular nonlinearity

तकनीकी सारांश: मिश्रित स्थानीय-गैर-स्थानीय ऑपरेटरों और विलक्षण गैर-रैखिकता वाले एक विक्षेपित गेलफैंड समस्या के लिए एकाधिक धनात्मक समाधान

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक विलक्षण गैर-रैखिकता (singular nonlinearity) के साथ मिश्रित स्थानीय-गैर-स्थानीय $p$-लैपलेसियन ऑपरेटर द्वारा संचालित एक विक्षेपित गेलफैंड-प्रकार की सीमा मान समस्या (boundary value problem) में धनात्मक समाधानों की उपस्थिति और बहुलता की जांच करता है। समस्या को इस प्रकार रूपायित किया गया है:
$$\begin{cases} -\Delta_p u + (-\Delta_p)_s u = \lambda \frac{f(u)}{u^\beta} & \Omega \text{ में}, \\ u > 0 & \Omega \text{ में}, \\ u = 0 & \mathbb{R}^N \setminus \Omega \text{ में}, \end{cases} \quad (P_\lambda)$$
जहाँ $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ एक चिकना (smooth) परिबद्ध डोमेन है, $1 < p < \infty$, $s \in (0, 1)$, $\lambda > 0$ एक पैरामीटर है, और $0 \le \beta < 1$ है। गैर-रैखिकता $f: [0, \infty) \to (0, \infty)$ एक $C^1$ गैर-ह्रासमान (non-decreasing) फलन है जहाँ $f(0) > 0$ है। ऑपरेटर स्थानीय $p$-लैपलेसियन, $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$, और प्रिंसिपल वैल्यू इंटीग्रल के माध्यम से परिभाषित गैर-स्थानीय भिन्नात्मक (fractional) $p$-लैपलेसियन को सम्मिलित करता है।

यह अध्ययन रासायनिक गतिकी (chemical kinetics) में दहन मॉडलों, विशेष रूप से छोटे ईंधन हानि स्थिर-अवस्था मॉडल (small fuel loss steady-state model) से प्रेरित है, जहाँ अभिक्रिया दर अरहेनियस नियम (Arrhenius law) का अनुसरण करती है। विलक्षण पद $u^{-\beta}$ का समावेश और मिश्रित ऑपरेटर संरचना समाधानों की नियमितता (regularity) और तुलना सिद्धांतों (comparison principles) के अनुप्रयोग के संबंध में महत्वपूर्ण विश्लेषणात्मक चुनौतियाँ पेश करता है।

कार्यप्रणाली
प्रयुक्त प्राथमिक विश्लेषणात्मक उपकरण उप- (sub-) और उप-समाधानों (supersolutions) की विधि है, जिसे विलक्षण गैर-रैखिकता और मिश्रित ऑपरेटर संरचना को संभालने के लिए अनुकूलित किया गया है।

1. कार्यात्मक ढांचा (Functional Framework): लेखक $X_0^{1,p}(\Omega)$ के भीतर कार्य करते हैं, जो $W^{1,p}$ नॉर्म और गैलियर्डो सेमी-नॉर्म (Gagliardo seminorm) के तहत $C_c^\infty(\Omega)$ के पूर्णता (completion) द्वारा परिभाषित है। यह स्थान स्वाभाविक रूप से डिरिचलेट सीमा शर्त $u=0$ को $\mathbb{R}^N \setminus \Omega$ में समाहित करता है।
2. उप- और उप-समाधानों का निर्माण:
   • उप- और उप-समाधानों का पहला युग्म $(\phi_1, \psi_1)$ किसी भी $\lambda > 0$ के लिए एक रैखिक समस्या के छोटे गुणक और एक विशिष्ट विलक्षण समाधान $\psi_0$ के बड़े गुणक का उपयोग करके निर्मित किया गया है।
   • दूसरा युग्म $(\phi_2, \psi_2)$ $f$ पर विशिष्ट संरचनात्मक शर्तों (इसे (f1)–(f5) के रूप में नामित किया गया है) के तहत निर्मित किया गया है। यह निर्माण सहायक फलनों और कट-ऑफ तकनीकों पर निर्भर करता है जो मिश्रित सेटिंग के लिए अनुकूलित हैं, जिससे शुद्ध रूप से स्थानीय या शुद्ध रूप से भिन्नात्मक संदर्भों में सामान्य ODE तकनीकों या ग्रीन फलन अनुमानों पर निर्भरता से बचा जा सके।
3. फिक्स्ड पॉइंट प्रमेय (Fixed Point Theorems):
   • दो समाधानों की उपस्थिति के लिए, लेखक उप- और उप-समाधानों द्वारा परिभाषित क्रमित अंतरालों के भीतर एकदिष्ट पुनरावृत्ति विधि (monotone iteration method) का उपयोग करते हैं।
   • तीसरे समाधान की उपस्थिति के लिए, लेखक अमान के फिक्स्ड पॉइंट प्रमेय (Amann's fixed point theorem) का उपयोग करते हैं। इसके लिए यह स्थापित करना आवश्यक है कि समाधान मानचित्र पूर्णतः सतत (completely continuous) है और उप- एवं उप-समाधान युग्म विशिष्ट क्रम और विलगता (disjointness) गुणों को संतुष्ट करते हैं।
4. स्ट्रॉन्ग तुलना सिद्धांत (Strong Comparison Principles): तीसरे समाधान के लिए एक महत्वपूर्ण घटक, विलक्षण गैर-रैखिकता के साथ रैखिक मिश्रित ऑपरेटर के लिए एक हॉप्स-प्रकार (Hopf-type) स्ट्रॉन्ग तुलना सिद्धांत (SCP) का व्युत्पन्न करना है। इसमें समाधानों और उनके सीमा अभिलक्षणिक (boundary normal derivatives) के बीच सख्त असमानता सिद्ध करना शामिल है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• दो समाधानों की उपस्थिति (प्रमेय 1.1): धारणाओं (f1)–(f3) के तहत, प्रत्येक $\lambda > 0$ के लिए यह समस्या कम से कम एक धनात्मक समाधान स्वीकार करती है। यदि $f$ आगे की शर्तें (f4) और (f5) संतुष्ट करता है, तो मापदंडों $(\lambda_*, \lambda^*)$ का एक अंतराल मौजूद है जिसके लिए समस्या कम से कम दो भिन्न धनात्मक समाधान स्वीकार करती है।
• तीन समाधानों की उपस्थिति (प्रमेय 1.2 और 1.4): यह शोध पत्र दो विशिष्ट व्यवस्थाओं में एक "तीन-समाधान प्रमेय" स्थापित करता है:
  1. गैर-विलक्षण मामला ($\beta = 0, p > 1$): $\lambda \in (\lambda_*, \lambda^*)$ के लिए, तीन भिन्न धनात्मक समाधान मौजूद हैं।
  2. रैखिक विलक्षण मामला ($p = 2, 0 < \beta < 1$): $\lambda \in (\lambda_*, \lambda^*)$ के लिए, तीन भिन्न धनात्मक समाधान मौजूद हैं।
     इन मामलों में द्विभाजन आरेख (bifurcation diagram) को दो टर्निंग पॉइंट्स के साथ एक S-आकार की संरचना प्रदर्शित करने के लिए दिखाया गया है, जो प्रज्वलन (ignition) और विलोपन (extinction) सीमाओं के अनुरूप है।
• हॉप्स-प्रकार का स्ट्रॉन्ग तुलना सिद्धांत (प्रमेय 1.3): लेखक विलक्षण गैर-रैखिकता के साथ रैखिक मिश्रित ऑपरेटर के लिए एक नया स्ट्रॉन्ग तुलना सिद्धांत (SCP) सिद्ध करते हैं। विशेष रूप से, यदि $u_1, u_2$ समीकरण को संतुष्ट करते हैं जहाँ $f_1 \le f_2$ (और $f_1 \not\equiv f_2$), तो $\Omega$ में $u_1 < u_2$ और $\partial \Omega$ पर $\frac{\partial u_2}{\partial \nu} < \frac{\partial u_1}{\partial \nu} < 0$ होता है। यह परिणाम $s \in (0, 1)$ की पूर्ण सीमा के लिए मान्य है, जो $s < 1/2$ तक सीमित पिछले परिणामों में सुधार करता है।
• नवीन निर्माण तकनीकें: उप- और उप-समाधानों का निर्माण पारंपरिक ODE तकनीकों और ग्रीन फलन अनुमानों से बचता है, जो अधिक अनुकूलनीय ढांचा प्रदान करता है।

महत्व और सीमाएं
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह मिश्रित स्थानीय-गैर-स्थानीय समस्याओं के साथ विलक्षण गैर-रैखिकता के लिए पहले बहुलता और तीन-समाधान परिणामों को प्रदान करता है। एक महत्वपूर्ण योगदान रैखिक मिश्रित सेटिंग में विलक्षण समस्याओं के लिए हॉप्स-प्रकार के SCP के विकास में निहित है, जिसे तीसरे समाधान को प्राप्त करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में वर्णित किया गया है और जिसका व्यापक गणितीय महत्व है।

लेखक स्पष्ट रूप से एक सीमा नोट करते हैं: सामान्य गैर-रैखिक विलक्षण मामले ($p \neq 2$ और $0 < \beta < 1$) के लिए तीसरे समाधान की उपस्थिति एक खुला प्रश्न बना हुआ है। प्राथमिक बाधा गैर-रैखिक मिश्रित ऑपरेटरों के लिए हॉप्स-प्रकार के स्ट्रॉन्ग तुलना सिद्धांत (SCP) को सिद्ध करने में कठिनाई है। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि आगामी कार्य विलक्षण और गैर-समरूप (nonhomogeneous) मिश्रित ऑपरेटरों के लिए हॉप्स-प्रकार के SCP के विकास को संबोधित करेगा, जो सामान्य मामले में तीन-समाधान प्रमेय के विस्तार की अनुमति देगा।

परिणाम गैर-रैखिक एलिप्टिक PDEs के ढांचे के भीतर कठोर गणितीय प्रमाणों के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, जिसमें स्थानीय प्रसार, गैर-स्थानीय अंतःक्रियाओं और विलक्षण अभिक्रिया पदों के बीच परस्पर क्रिया पर विशेष ध्यान दिया गया है।