Multiple positive solutions to a perturbed Gelfand problem involving mixed local-nonlocal operators and singular nonlinearity

Sintesi Tecnica: Molteplicità di Soluzioni Positive per un Problema di Gelfand Perturbato che Coinvolge Operatori Misti Locali-Nonlocali e Nonlinearità Singolare

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'esistenza e la molteplicità di soluzioni positive per un problema ai valori al contorno di tipo Gelfand perturbato, guidato da un operatore misto locale-nonlocale $p$-Laplaciano con una nonlinearità singolare. Il problema è formulato come:
$$\begin{cases} -\Delta_p u + (-\Delta_p)_s u = \lambda \frac{f(u)}{u^\beta} & \text{in } \Omega, \\ u > 0 & \text{in } \Omega, \\ u = 0 & \text{in } \mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{cases} \quad (P_\lambda)$$
dove $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ è un dominio limitato regolare, $1 < p < \infty$, $s \in (0, 1)$, $\lambda > 0$ è un parametro e $0 \le \beta < 1$. La nonlinearità $f: [0, \infty) \to (0, \infty)$ è una funzione $C^1$ non decrescente con $f(0) > 0$. L'operatore combina il $p$-Laplaciano locale, $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$, e il $p$-Laplaciano frazionario nonlocale, definito tramite un integrale in valore principale.

Lo studio è motivato dai modelli di combustione nella cinetica chimica, specificamente dal modello di stato stazionario di piccola perdita di combustibile, dove il tasso di reazione segue una legge di Arrhenius. L'inclusione del termine singolare $u^{-\beta}$ e la struttura dell'operatore misto introducono sfide analitiche significative, particolarmente riguardanti la regolarità delle soluzioni e l'applicazione dei principi di confronto.

Metodologia
Lo strumento analitico primario impiegato è il metodo di sottosu e sovrasoluzioni, adattato per gestire la natura singolare della nonlinearità e la struttura dell'operatore misto.

1. Framework Funzionale: Gli autori lavorano nello spazio $X_0^{1,p}(\Omega)$, definito come la completazione di $C_c^\infty(\Omega)$ sotto una norma che combina la norma $W^{1,p}$ e la seminorma di Gagliardo. Questo spazio incorpora naturalmente la condizione al contorno di Dirichlet $u=0$ in $\mathbb{R}^N \setminus \Omega$.
2. Costruzione di Sottosu e Sovrasoluzioni:
   • Una prima coppia di sottosu e sovrasoluzioni strette $(\phi_1, \psi_1)$ è costruita per ogni $\lambda > 0$ utilizzando un piccolo multiplo della soluzione di un problema lineare e un grande multiplo di una specifica soluzione singolare $\psi_0$.
   • Una seconda coppia $(\phi_2, \psi_2)$ è costruita sotto specifiche condizioni strutturali su $f$ (indicate come (f1)–(f5)). Questa costruzione si basa su funzioni ausiliarie e tecniche di cut-off su misura per l'ambiente misto, evitando il ricorso a tecniche ODE o stime della funzione Green comuni nei contesti puramente locali o puramente frazionari.
3. Teoremi del Punto Fisso:
   • Per l'esistenza di due soluzioni, gli autori utilizzano il metodo dell'iterazione monotona all'interno di intervalli ordinati definiti dalle sottosu e sovrasoluzioni.
   • Per l'esistenza di una terza soluzione, il documento impiega il teorema del punto fisso di Amann. Ciò richiede l'instaurare che la mappa della soluzione sia completamente continua e che le coppie di sottosu e sovrasoluzioni soddisfino specifiche proprietà di ordinamento e disgiunzione.
4. Principi di Forte Confronto: Un componente critico della metodologia è la derivazione di un Principio di Forte Confronto (SCP) di tipo Hopf per l'operatore misto lineare con nonlinearità singolare. Ciò comporta la prova della stretta disuguaglianza tra le soluzioni e le loro derivate normali sul bordo.

Contributi Chiave e Risultati

• Esistenza di Due Soluzioni (Teorema 1.1): Sotto le assunzioni (f1)–(f3), il problema ammette almeno una soluzione positiva per ogni $\lambda > 0$. Se $f$ soddisfa ulteriormente le condizioni (f4) e (f5), esiste un intervallo $(\lambda_*, \lambda^*)$ di parametri per i quali il problema ammette almeno due soluzioni positive distinte.
• Esistenza di Tre Soluzioni (Teorema 1.2 & 1.4): Il documento stabilisce un "teorema delle tre soluzioni" in due regimi specifici:
  1. Caso non singolare ($\beta = 0, p > 1$): Per $\lambda \in (\lambda_*, \lambda^*)$, esistono tre soluzioni positive distinte.
  2. Caso singolare lineare ($p = 2, 0 < \beta < 1$): Per $\lambda \in (\lambda_*, \lambda^*)$, esistono tre soluzioni positive distinte.
     Il diagramma di biforcazione in questi casi mostra una struttura di tipo S con due punti di svolta, corrispondenti ai limiti di accensione ed estinzione.
• Principio di Forte Confronto di tipo Hopf (Teorema 1.3): Gli autori dimostrano un nuovo Principio di Forte Confronto per l'operatore misto lineare con nonlinearità singolare. Nello specifico, se $u_1, u_2$ soddisfano l'equazione con $f_1 \le f_2$ (e $f_1 \not\equiv f_2$), allora $u_1 < u_2$ in $\Omega$ e $\frac{\partial u_2}{\partial \nu} < \frac{\partial u_1}{\partial \nu} < 0$ su $\partial \Omega$. Questo risultato è valido per l'intero intervallo $s \in (0, 1)$, migliorando i risultati precedenti che erano limitati a $s < 1/2$.
• Tecniche di Costruzione Innovative: La costruzione di sottosu e sovrasoluzioni evita le convenzionali tecniche ODE e le stime della funzione Green, offrendo un framework più adattabile ad operatori non lineari e non locali.

Significato e Limitazioni
Il documento sostiene di fornire i primi risultati di molteplicità e di tre soluzioni per problemi misti locali-nonlocali con nonlinearità singolari. Un contributo significativo è lo sviluppo dell'SCP di tipo Hopf per problemi singolari nel setting lineare, descritto come uno strumento cruciale per derivare la terza soluzione e che possiede un più ampio significato matematico.

Gli autori notano esplicitamente una limitazione: l'esistenza di una terza soluzione per il caso singolare non lineare generale ($p \neq 2$ e $0 < \beta < 1$) rimane una questione aperta. L'ostacolo principale è la difficoltà nel dimostrare il Principio di Forte Confronto di tipo Hopf per operatori misti non lineari. Il documento conclude affermando che un lavoro imminente affronterà lo sviluppo di un SCP di tipo Hopf per operatori misti non lineari e non omogenei, il che permetterebbe l'estensione del teorema delle tre soluzioni al caso generale.

I risultati sono presentati come prove matematiche rigorose all'interno del framework delle PDE ellittiche non lineari, con particolare attenzione all'interazione tra diffusione locale, interazioni non locali e termini di reazione singolari.